Номер 200, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

200. а) Что называют первообразной для функции $f(x)$?

б) Однозначно ли определяется первообразная для данной функции?

а) Первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке называется такая функция $F(x)$, производная которой для всех $x$ из этого промежутка равна $f(x)$. Другими словами, для всех $x$ из рассматриваемого промежутка должно выполняться равенство:
$F'(x) = f(x)$
Процесс нахождения первообразной является операцией, обратной дифференцированию. Например, для функции $f(x) = \cos(x)$ первообразной будет функция $F(x) = \sin(x)$, поскольку $(\sin(x))' = \cos(x)$.
Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ называют такую функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$.

б) Нет, первообразная для данной функции определяется не однозначно. Если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, то и любая функция вида $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольное постоянное число (константа), также будет являться первообразной для $f(x)$.
Это объясняется свойством производной: производная постоянной равна нулю. Давайте проверим:$G'(x) = (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.
Так как производная $G(x)$ равна $f(x)$, то $G(x)$ также является первообразной. Это означает, что у функции существует бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на константу. Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ называют неопределенным интегралом и записывают как $\int f(x)dx = F(x) + C$.
Например, для функции $f(x) = 2x$ первообразными являются не только $x^2$, но и $x^2+1$, $x^2-10$, и в общем виде $x^2+C$.
Ответ: Нет, первообразная для данной функции определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной $C$.