Номер 194, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

194. Что называют мгновенной скоростью точки, движущейся прямолинейно по закону $s = f(t)$, в момент времени $t$?

Мгновенная скорость точки в конкретный момент времени $t$ — это величина, характеризующая быстроту изменения её положения именно в этот момент. Чтобы дать строгое определение, рассмотрим движение точки, описываемое законом $s = f(t)$, где $s$ — это координата точки на прямой (пройденный путь), а $t$ — время.

Для начала рассмотрим среднюю скорость движения за некоторый малый промежуток времени. Пусть в момент времени $t$ точка находилась в положении $f(t)$. Спустя промежуток времени $\Delta t$, в момент $t + \Delta t$, точка окажется в положении $f(t + \Delta t)$.

Приращение пути за это время составит $\Delta s = f(t + \Delta t) - f(t)$. Тогда средняя скорость $v_{\text{ср}}$ на промежутке времени $[t, t + \Delta t]$ вычисляется как отношение приращения пути к приращению времени:

$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$

Эта формула дает нам среднюю скорость за интервал $\Delta t$. Чтобы найти скорость точно в момент времени $t$ (мгновенную скорость), нужно сделать этот интервал времени бесконечно малым, то есть рассмотреть предел, к которому стремится средняя скорость при $\Delta t \to 0$.

Таким образом, мгновенная скорость $v(t)$ в момент времени $t$ определяется как предел отношения приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$, когда $\Delta t$ стремится к нулю:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$

В математическом анализе этот предел называется производной функции $f(t)$ по переменной $t$ и обозначается как $f'(t)$ или $s'(t)$. Следовательно, мгновенная скорость — это производная от закона движения по времени. Это и есть физический смысл производной.

$v(t) = s'(t) = f'(t)$

Ответ: Мгновенной скоростью точки, движущейся прямолинейно по закону $s = f(t)$, в момент времени $t$ называют производную функции пути $f(t)$ по времени $t$. Это предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю: $v(t) = f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$.