Номер 188, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

188. а) $|a + b| \le |a| + |b|;$

в) $||a| - |b|| \le |a - b|.$

б) $|a - b| \le |a| + |b|;$

а) Докажем неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ (неравенство треугольника).

Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, и знак неравенства при этом не изменится:

$(|a + b|)^2 \le (|a| + |b|)^2$

Используем свойство модуля, согласно которому $|x|^2 = x^2$ для любого действительного числа $x$.

$(a + b)^2 \le |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2$

Раскроем скобки и применим свойство модуля еще раз:

$a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|ab| + b^2$

Вычтем из обеих частей выражения $a^2 + b^2$:

$2ab \le 2|ab|$

Разделим обе части на 2:

$ab \le |ab|$

Последнее неравенство всегда истинно по определению абсолютной величины. Если произведение $ab$ неотрицательно ($ab \ge 0$), то $|ab| = ab$, и мы получаем верное тождество $ab \le ab$. Если произведение $ab$ отрицательно ($ab < 0$), то $|ab| = -ab$, и неравенство $ab \le -ab$ также верно, так как отрицательное число всегда меньше или равно положительному. Поскольку все шаги доказательства были равносильными, исходное неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ также доказано.

Ответ: Неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ доказано.

б) Докажем неравенство $|a - b| \le |a| + |b|$.

Мы можем использовать уже доказанное в пункте а) неравенство треугольника: $|x + y| \le |x| + |y|$.

Заменим в этом неравенстве $y$ на $-b$:

$|a + (-b)| \le |a| + |-b|$

Упростим выражение. Левая часть становится $|a - b|$, а в правой части учтем, что $|-b| = |b|$ для любого действительного числа $b$.

$|a - b| \le |a| + |b|$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $|a - b| \le |a| + |b|$ доказано.

в) Докажем неравенство $||a| - |b|| \le |a - b|$ (обратное неравенство треугольника).

Снова воспользуемся неравенством треугольника из пункта а). Запишем $a$ в виде суммы $(a-b) + b$ и применим к нему неравенство:

$|a| = |(a - b) + b| \le |a - b| + |b|$

Перенесем $|b|$ в левую часть:

$|a| - |b| \le |a - b|$ (1)

Теперь проделаем аналогичную операцию для $b$, представив его как $(b-a)+a$:

$|b| = |(b - a) + a| \le |b - a| + |a|$

Так как $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b|$, мы можем переписать неравенство следующим образом:

$|b| \le |a - b| + |a|$

Перенесем $|a|$ в левую часть:

$|b| - |a| \le |a - b|$

Умножим обе части этого неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-(|b| - |a|) \ge -|a - b|$

$|a| - |b| \ge -|a - b|$ (2)

Теперь объединим неравенства (1) и (2) в одно двойное неравенство:

$-|a - b| \le |a| - |b| \le |a - b|$

Это двойное неравенство по определению модуля эквивалентно неравенству с модулем:

$||a| - |b|| \le |a - b|$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $||a| - |b|| \le |a - b|$ доказано.