Номер 181, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

181. а) $x^2 + 4x - 2 - \frac{15}{x^2 + 4x} \le 0;$

б) $x^2 - 6x + 13 + \frac{40}{x^2 - 6x} \le 0;$

в) $x^2 - 6x - 4 - \frac{36}{x^2 - 6x + 5} \ge 0;$

г) $x^2 - 8x + 4 + \frac{24}{x^2 - 8x + 15} \ge 0.$

а) $x^2 + 4x - 2 - \frac{15}{x^2 + 4x} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x^2 + 4x \neq 0$
$x(x+4) \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq -4$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 4x$. Неравенство принимает вид:
$t - 2 - \frac{15}{t} \le 0$

3. Решим полученное неравенство относительно $t$. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{t^2 - 2t - 15}{t} \le 0$
Найдем корни числителя: $t^2 - 2t - 15 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 5, t_2 = -3$.
Неравенство можно записать в виде: $\frac{(t-5)(t+3)}{t} \le 0$.
Решая методом интервалов, находим нули: $t=-3, t=0, t=5$.

Из схемы видно, что решение для $t$: $t \in (-\infty, -3] \cup (0, 5]$.

4. Вернемся к исходной переменной $x$.
Получаем совокупность двух систем неравенств:
$x^2 + 4x \le -3$ или $0 < x^2 + 4x \le 5$.
а) Решим первое неравенство: $x^2 + 4x + 3 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = -3, x_2 = -1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-3, -1]$.
б) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 4x > 0 \\ x^2 + 4x \le 5 \end{cases}$.
$x^2 + 4x > 0 \Rightarrow x(x+4) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.
$x^2 + 4x \le 5 \Rightarrow x^2 + 4x - 5 \le 0$. Корни $x_1 = -5, x_2 = 1$. Решение: $x \in [-5, 1]$.
Пересечение решений системы: $( (-\infty, -4) \cup (0, \infty) ) \cap [-5, 1] = [-5, -4) \cup (0, 1]$.

5. Объединяем полученные решения и учитываем ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -4$):
$[-3, -1] \cup [-5, -4) \cup (0, 1]$.

Ответ: $x \in [-5, -4) \cup [-3, -1] \cup (0, 1]$.

б) $x^2 - 6x + 13 + \frac{40}{x^2 - 6x} \le 0$

1. ОДЗ: $x^2 - 6x \neq 0 \Rightarrow x(x-6) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 6$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$.
$t + 13 + \frac{40}{t} \le 0$

3. Решим неравенство относительно $t$:
$\frac{t^2 + 13t + 40}{t} \le 0$
Корни числителя $t^2 + 13t + 40 = 0$ равны $t_1 = -8, t_2 = -5$.
$\frac{(t+8)(t+5)}{t} \le 0$
Методом интервалов получаем решение для $t$: $t \in (-\infty, -8] \cup [-5, 0)$.

4. Вернемся к переменной $x$.
$x^2 - 6x \le -8$ или $-5 \le x^2 - 6x < 0$.
а) $x^2 - 6x \le -8 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 \le 0$. Корни $x_1=2, x_2=4$. Решение: $x \in [2, 4]$.
б) $-5 \le x^2 - 6x < 0$. Это система $\begin{cases} x^2 - 6x < 0 \\ x^2 - 6x \ge -5 \end{cases}$.
$x^2 - 6x < 0 \Rightarrow x(x-6) < 0 \Rightarrow x \in (0, 6)$.
$x^2 - 6x \ge -5 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 \ge 0$. Корни $x_1=1, x_2=5$. Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.
Пересечение решений системы: $(0, 6) \cap ((-\infty, 1] \cup [5, \infty)) = (0, 1] \cup [5, 6)$.

5. Объединяем полученные решения, которые уже удовлетворяют ОДЗ:
$[2, 4] \cup (0, 1] \cup [5, 6)$.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [2, 4] \cup [5, 6)$.

в) $x^2 - 6x - 4 - \frac{36}{x^2 - 6x + 5} \ge 0$

1. ОДЗ: $x^2 - 6x + 5 \neq 0$. Корни $x^2-6x+5=0$ это $x_1=1, x_2=5$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 5$.

2. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 6x$. Неравенство примет вид:
$t - 4 - \frac{36}{t+5} \ge 0$

3. Решим неравенство относительно $t$:
$\frac{(t-4)(t+5) - 36}{t+5} \ge 0$
$\frac{t^2 + t - 20 - 36}{t+5} \ge 0$
$\frac{t^2 + t - 56}{t+5} \ge 0$
Корни числителя $t^2 + t - 56 = 0$: $t_1 = 7, t_2 = -8$.
$\frac{(t-7)(t+8)}{t+5} \ge 0$
Методом интервалов получаем решение для $t$: $t \in [-8, -5) \cup [7, \infty)$.

4. Вернемся к переменной $x$.
$-8 \le x^2 - 6x < -5$ или $x^2 - 6x \ge 7$.
а) $-8 \le x^2 - 6x < -5$. Система $\begin{cases} x^2 - 6x < -5 \\ x^2 - 6x \ge -8 \end{cases}$.
$x^2 - 6x + 5 < 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) < 0 \Rightarrow x \in (1, 5)$.
$x^2 - 6x + 8 \ge 0 \Rightarrow (x-2)(x-4) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.
Пересечение: $(1, 5) \cap ((-\infty, 2] \cup [4, \infty)) = (1, 2] \cup [4, 5)$.
б) $x^2 - 6x \ge 7 \Rightarrow x^2 - 6x - 7 \ge 0$. Корни $x_1=-1, x_2=7$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [7, \infty)$.

5. Объединяем решения, которые уже удовлетворяют ОДЗ:
$(1, 2] \cup [4, 5) \cup (-\infty, -1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (1, 2] \cup [4, 5) \cup [7, \infty)$.

г) $x^2 - 8x + 4 + \frac{24}{x^2 - 8x + 15} \ge 0$

1. ОДЗ: $x^2 - 8x + 15 \neq 0$. Корни $x^2-8x+15=0$ это $x_1=3, x_2=5$. Значит, $x \neq 3$ и $x \neq 5$.

2. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 8x$. Неравенство примет вид:
$t + 4 + \frac{24}{t+15} \ge 0$

3. Решим неравенство относительно $t$:
$\frac{(t+4)(t+15) + 24}{t+15} \ge 0$
$\frac{t^2 + 19t + 60 + 24}{t+15} \ge 0$
$\frac{t^2 + 19t + 84}{t+15} \ge 0$
Корни числителя $t^2 + 19t + 84 = 0$: $t_1 = -7, t_2 = -12$.
$\frac{(t+7)(t+12)}{t+15} \ge 0$
Методом интервалов получаем решение для $t$: $t \in (-15, -12] \cup [-7, \infty)$.

4. Вернемся к переменной $x$.
$-15 < x^2 - 8x \le -12$ или $x^2 - 8x \ge -7$.
а) $-15 < x^2 - 8x \le -12$. Система $\begin{cases} x^2 - 8x > -15 \\ x^2 - 8x \le -12 \end{cases}$.
$x^2 - 8x + 15 > 0 \Rightarrow (x-3)(x-5) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.
$x^2 - 8x + 12 \le 0 \Rightarrow (x-2)(x-6) \le 0 \Rightarrow x \in [2, 6]$.
Пересечение: $( (-\infty, 3) \cup (5, \infty) ) \cap [2, 6] = [2, 3) \cup (5, 6]$.
б) $x^2 - 8x \ge -7 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 \ge 0$. Корни $x_1=1, x_2=7$. Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

5. Объединяем решения, которые уже удовлетворяют ОДЗ:
$[2, 3) \cup (5, 6] \cup (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, 3) \cup (5, 6] \cup [7, \infty)$.