Номер 179, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (179–183):

179. а) $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 + 4 < 0;$

б) $(x + 1)^4 - 13(x + 1)^2 + 36 \le 0;$

в) $(x + 1)^4 - 5(x + 1)^2 + 4 \ge 0;$

г) $(x - 3)^4 - 10(x - 3)^2 + 9 > 0.$

а) $(x-3)^4 - 5(x-3)^2 + 4 < 0$

Данное неравенство является биквадратным. Введем замену переменной. Пусть $t = (x-3)^2$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 5t + 4 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 5t + 4$. Решим уравнение $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Таким образом, корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Графиком функции $y = t^2 - 5t + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Следовательно, решение неравенства для $t$:

$1 < t < 4$

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену $t = (x-3)^2$:

$1 < (x-3)^2 < 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} (x-3)^2 > 1 \\ (x-3)^2 < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-3)^2 > 1$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x-3| > 1$. Это неравенство распадается на совокупность двух неравенств:

$x-3 > 1$ или $x-3 < -1$

$x > 4$ или $x < 2$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-3)^2 < 4$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x-3| < 2$. Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 < x-3 < 2$

Прибавив 3 ко всем частям, получаем:

$1 < x < 5$

Решение второго неравенства: $x \in (1, 5)$.

Итоговое решение является пересечением решений двух неравенств системы: $x \in ((-\infty, 2) \cup (4, \infty)) \cap (1, 5)$.

На числовой оси это пересечение дает два интервала: $(1, 2)$ и $(4, 5)$.

Ответ: $(1, 2) \cup (4, 5)$.

б) $(x+1)^4 - 13(x+1)^2 + 36 \le 0$

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = (x+1)^2$, где $t \ge 0$.

Неравенство сводится к квадратному:

$t^2 - 13t + 36 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 13t + 36$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями (включая сами корни):

$4 \le t \le 9$

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Производим обратную замену $t = (x+1)^2$:

$4 \le (x+1)^2 \le 9$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы:

$\begin{cases} (x+1)^2 \ge 4 \\ (x+1)^2 \le 9 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $(x+1)^2 \ge 4 \implies |x+1| \ge 2$.

$x+1 \ge 2$ или $x+1 \le -2$

$x \ge 1$ или $x \le -3$

Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $(x+1)^2 \le 9 \implies |x+1| \le 3$.

$-3 \le x+1 \le 3$

$-4 \le x \le 2$

Решение: $x \in [-4, 2]$.

Находим пересечение решений системы: $x \in ((-\infty, -3] \cup [1, \infty)) \cap [-4, 2]$.

Пересечение дает объединение отрезков $[-4, -3] \cup [1, 2]$.

Ответ: $[-4, -3] \cup [1, 2]$.

в) $(x+1)^4 - 5(x+1)^2 + 4 \ge 0$

Введем замену $t = (x+1)^2$, при этом $t \ge 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 5t + 4 \ge 0$.

Корни соответствующего уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Так как парабола $y = t^2 - 5t + 4$ ветвями направлена вверх, неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \le 1$ или $t \ge 4$

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем совокупность:

$0 \le t \le 1$ или $t \ge 4$

Выполняем обратную замену $t = (x+1)^2$ и рассматриваем два случая.

Случай 1: $0 \le (x+1)^2 \le 1$.

Неравенство $(x+1)^2 \ge 0$ верно для всех $x$. Решаем $(x+1)^2 \le 1 \implies |x+1| \le 1$.

$-1 \le x+1 \le 1$

$-2 \le x \le 0$

Решение для первого случая: $x \in [-2, 0]$.

Случай 2: $(x+1)^2 \ge 4$.

Это неравенство эквивалентно $|x+1| \ge 2$, что дает:

$x+1 \ge 2$ или $x+1 \le -2$

$x \ge 1$ или $x \le -3$

Решение для второго случая: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Итоговое решение является объединением решений обоих случаев.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [-2, 0] \cup [1, \infty)$.

г) $(x-3)^4 - 10(x-3)^2 + 9 > 0$

Введем замену переменной $t = (x-3)^2$, где $t \ge 0$.

Неравенство преобразуется в $t^2 - 10t + 9 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1, t_2 = 9$.

Решением неравенства $t^2 - 10t + 9 > 0$ является совокупность $t < 1$ или $t > 9$.

С учетом ограничения $t \ge 0$, получаем:

$0 \le t < 1$ или $t > 9$

Сделаем обратную замену $t = (x-3)^2$ и рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 \le (x-3)^2 < 1$.

Так как $(x-3)^2 \ge 0$ всегда, решаем $(x-3)^2 < 1 \implies |x-3| < 1$.

$-1 < x-3 < 1$

$2 < x < 4$

Решение для первого случая: $x \in (2, 4)$.

Случай 2: $(x-3)^2 > 9$.

Это неравенство эквивалентно $|x-3| > 3$, что дает:

$x-3 > 3$ или $x-3 < -3$

$x > 6$ или $x < 0$

Решение для второго случая: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Общее решение является объединением решений, полученных в двух случаях.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (6, \infty)$.