Номер 182, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

182. а) $ |x+4|^2 - 7|x+4| \ge 0; $

б) $ |x+7|^2 - 4|x+7| \le 0; $

в) $ (x-3)^2 - 5|x-3| + 4 \le 0; $

г) $ (x+2)^2 - 7|x+2| + 12 \le 0. $

а) $|x + 4|^2 - 7|x + 4| \ge 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $|x + 4|$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x + 4|$. Так как модуль любого выражения является неотрицательной величиной, то $t \ge 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$t^2 - 7t \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$t(t - 7) \ge 0$

Решим это неравенство для переменной $t$. Корни соответствующего уравнения $t(t-7)=0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 7$. Графиком функции $y=t(t-7)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $t \le 0$ или $t \ge 7$.

Учитывая ограничение $t \ge 0$, получаем, что решение для $t$ — это $t = 0$ или $t \ge 7$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $|x + 4| = 0$. Это уравнение равносильно $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.

2. $|x + 4| \ge 7$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x + 4 \ge 7$ или $x + 4 \le -7$

$x \ge 3$ или $x \le -11$

Объединяем все полученные решения для $x$: $(-\infty, -11]$, $\{-4\}$ и $[3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -11] \cup \{-4\} \cup [3, +\infty)$.

б) $|x + 7|^2 - 4|x + 7| \le 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = |x + 7|$, при этом $t \ge 0$.

Неравенство сводится к следующему:

$t^2 - 4t \le 0$

$t(t - 4) \le 0$

Корни уравнения $t(t-4)=0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $0 \le t \le 4$.

Это решение полностью удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$0 \le |x + 7| \le 4$

Неравенство $|x + 7| \ge 0$ верно для всех действительных чисел $x$. Остается решить неравенство $|x + 7| \le 4$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-4 \le x + 7 \le 4$

Вычтем 7 из всех частей неравенства:

$-4 - 7 \le x \le 4 - 7$

$-11 \le x \le -3$

Ответ: $x \in [-11, -3]$.

в) $(x - 3)^2 - 5|x - 3| + 4 \le 0$

Поскольку для любого действительного числа $a$ верно, что $a^2 = |a|^2$, мы можем переписать неравенство в виде:

$|x - 3|^2 - 5|x - 3| + 4 \le 0$

Сделаем замену $t = |x - 3|$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 5t + 4 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 \le t \le 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$1 \le |x - 3| \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} |x - 3| \ge 1 \\ |x - 3| \le 4 \end{cases}$

1. Решим $|x - 3| \ge 1$. Оно распадается на совокупность:

$x - 3 \ge 1$ или $x - 3 \le -1$, что дает $x \ge 4$ или $x \le 2$. Решение: $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

2. Решим $|x - 3| \le 4$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-4 \le x - 3 \le 4$, что дает $-1 \le x \le 7$. Решение: $[-1, 7]$.

Итоговое решение является пересечением множеств $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$ и $[-1, 7]$.

Пересечение этих множеств дает объединение двух отрезков: $[-1, 2]$ и $[4, 7]$.

Ответ: $x \in [-1, 2] \cup [4, 7]$.

г) $(x + 2)^2 - 7|x + 2| + 12 \le 0$

Используя свойство $a^2 = |a|^2$, перепишем неравенство:

$|x + 2|^2 - 7|x + 2| + 12 \le 0$

Сделаем замену $t = |x + 2|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 - 7t + 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $3 \le t \le 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Сделаем обратную замену:

$3 \le |x + 2| \le 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} |x + 2| \ge 3 \\ |x + 2| \le 4 \end{cases}$

1. Решим $|x + 2| \ge 3$. Оно распадается на совокупность:

$x + 2 \ge 3$ или $x + 2 \le -3$, что дает $x \ge 1$ или $x \le -5$. Решение: $(-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

2. Решим $|x + 2| \le 4$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-4 \le x + 2 \le 4$, что дает $-6 \le x \le 2$. Решение: $[-6, 2]$.

Найдем пересечение решений $(-\infty, -5] \cup [1, \infty)$ и $[-6, 2]$.

Пересечение этих множеств дает объединение двух отрезков: $[-6, -5]$ и $[1, 2]$.

Ответ: $x \in [-6, -5] \cup [1, 2]$.