Номер 178, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

178. a) $\begin{cases} \frac{x - 3}{x^2 - 9} \le 0, \\ \frac{x^2 - 4}{x + 2} \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + 1}{x^2 - 1} \ge 0, \\ \frac{x^2 - 16}{x - 4} \ge 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x^2 - 5x + 6}{2x^2 - 3x + 1} \le 0, \\ x^2 - 4 \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{(x - 3)^2}{3x^2 - 5x + 2} \le 0, \\ x(x - 4) \le 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} (x + 1)(x^2 - x - 6) \ge 0, \\ (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \le 0, \\ (x + 3)(x^2 - 4) \ge 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} (x + 1)(x^2 + 8x + 15) \le 0, \\ (x + 2)(x^2 + 10x + 24) \ge 0, \\ (x + 3)(x^2 + 9x + 20) \ge 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x-3}{x^2-9} \le 0, \\ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x-3}{x^2-9} \le 0 $.
Разложим знаменатель на множители: $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.
Неравенство принимает вид $ \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} \le 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \ne 3, x \ne -3 $.
При $ x \ne 3 $ сокращаем дробь: $ \frac{1}{x+3} \le 0 $.
Это неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен: $ x+3 < 0 \Rightarrow x < -3 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -3) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 $.
Разложим числитель на множители: $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
Неравенство принимает вид $ \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} \ge 0 $.
ОДЗ: $ x \ne -2 $.
При $ x \ne -2 $ сокращаем дробь: $ x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 $.
Решение второго неравенства: $ x \in [2, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.
Пересечение множеств $ (-\infty, -3) $ и $ [2, +\infty) $ пусто, так как нет чисел, которые одновременно меньше -3 и больше либо равны 2.
Ответ: $ \emptyset $ (нет решений).

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+1}{x^2-1} \ge 0, \\ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x+1}{x^2-1} \ge 0 $.
Разложим знаменатель: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $.
Неравенство: $ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \ge 0 $.
ОДЗ: $ x \ne 1, x \ne -1 $.
При $ x \ne -1 $ сокращаем: $ \frac{1}{x-1} \ge 0 $.
Это выполняется, когда $ x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (1, +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0 $.
Разложим числитель: $ x^2-16 = (x-4)(x+4) $.
Неравенство: $ \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} \ge 0 $.
ОДЗ: $ x \ne 4 $.
При $ x \ne 4 $ сокращаем: $ x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4 $.
С учетом ОДЗ, решение второго неравенства: $ x \in [-4, 4) \cup (4, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ (1, +\infty) \cap ([-4, 4) \cup (4, +\infty)) $.
Пересечением является множество $ (1, 4) \cup (4, +\infty) $.
Ответ: $ x \in (1, 4) \cup (4, +\infty) $.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-5x+6}{2x^2-3x+1} \le 0, \\ x^2-4 \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-5x+6}{2x^2-3x+1} \le 0 $.
Разложим числитель: $ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) $.
Разложим знаменатель: $ 2x^2-3x+1 = 2(x-1)(x-1/2) = (x-1)(2x-1) $.
Неравенство: $ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(2x-1)} \le 0 $.
Корни числителя (включаются): 2, 3. Корни знаменателя (исключаются): 1/2, 1.
Методом интервалов находим, что неравенство выполняется на промежутках $ (1/2, 1) $ и $ [2, 3] $.
Решение первого неравенства: $ x \in (1/2, 1) \cup [2, 3] $.

2. Решим второе неравенство: $ x^2-4 \le 0 $.
$ (x-2)(x+2) \le 0 $.
Корни: -2, 2. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $ x \in [-2, 2] $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((1/2, 1) \cup [2, 3]) \cap [-2, 2] $.
Пересечение $ (1/2, 1) $ с $ [-2, 2] $ дает $ (1/2, 1) $.
Пересечение $ [2, 3] $ с $ [-2, 2] $ дает точку $ \{2\} $.
Объединяем результаты: $ (1/2, 1) \cup \{2\} $.
Ответ: $ x \in (1/2, 1) \cup \{2\} $.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{(x-3)^2}{3x^2-5x+2} \le 0, \\ x(x-4) \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{(x-3)^2}{3x^2-5x+2} \le 0 $.
Числитель $ (x-3)^2 \ge 0 $ для всех $ x $. Равенство нулю при $ x=3 $.
Неравенство выполняется в двух случаях:
а) Числитель равен нулю, а знаменатель не равен: $ x=3 $. Проверим знаменатель: $ 3(3)^2-5(3)+2 = 27-15+2 = 14 \ne 0 $. Значит, $ x=3 $ — решение.
б) Числитель положителен ($x \ne 3$), а знаменатель строго отрицателен: $ 3x^2-5x+2 < 0 $.
Корни знаменателя: $ x_1 = 2/3, x_2 = 1 $. Ветви параболы вверх, значит, $ 3x^2-5x+2 < 0 $ при $ x \in (2/3, 1) $.
Решение первого неравенства: $ x \in (2/3, 1) \cup \{3\} $.

2. Решим второе неравенство: $ x(x-4) \le 0 $.
Корни: 0, 4. Ветви параболы вверх, неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $ x \in [0, 4] $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((2/3, 1) \cup \{3\}) \cap [0, 4] $.
Пересечение $ (2/3, 1) $ с $ [0, 4] $ дает $ (2/3, 1) $.
Пересечение $ \{3\} $ с $ [0, 4] $ дает $ \{3\} $.
Объединяем результаты: $ (2/3, 1) \cup \{3\} $.
Ответ: $ x \in (2/3, 1) \cup \{3\} $.

д)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x+1)(x^2-x-6) \ge 0, \\ (x-1)(x^2-5x+6) \le 0, \\ (x+3)(x^2-4) \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x+1)(x-3)(x+2) \ge 0 $.
Корни: -2, -1, 3. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-2, -1] \cup [3, +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ (x-1)(x-2)(x-3) \le 0 $.
Корни: 1, 2, 3. Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, 1] \cup [2, 3] $.

3. Решим третье неравенство: $ (x+3)(x-2)(x+2) \ge 0 $.
Корни: -3, -2, 2. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-3, -2] \cup [2, +\infty) $.

4. Найдем пересечение трех множеств решений.
Сначала найдем пересечение первых двух: $ ([-2, -1] \cup [3, +\infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [2, 3]) = [-2, -1] \cup \{3\} $.
Теперь пересечем результат с решением третьего неравенства: $ ([-2, -1] \cup \{3\}) \cap ([-3, -2] \cup [2, +\infty)) $.
Пересечение $ [-2, -1] $ с $ [-3, -2] \cup [2, +\infty) $ дает $ \{-2\} $.
Пересечение $ \{3\} $ с $ [-3, -2] \cup [2, +\infty) $ дает $ \{3\} $.
Объединяем результаты: $ \{-2\} \cup \{3\} $.
Ответ: $ x \in \{-2, 3\} $.

е)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x+1)(x^2+8x+15) \le 0, \\ (x+2)(x^2+10x+24) \ge 0, \\ (x+3)(x^2+9x+20) \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x+1)(x+3)(x+5) \le 0 $.
Корни: -5, -3, -1. Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -5] \cup [-3, -1] $.

2. Решим второе неравенство: $ (x+2)(x+4)(x+6) \ge 0 $.
Корни: -6, -4, -2. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-6, -4] \cup [-2, +\infty) $.

3. Решим третье неравенство: $ (x+3)(x+4)(x+5) \ge 0 $.
Корни: -5, -4, -3. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-5, -4] \cup [-3, +\infty) $.

4. Найдем пересечение трех множеств решений.
Сначала пересечение первых двух: $ ((-\infty, -5] \cup [-3, -1]) \cap ([-6, -4] \cup [-2, +\infty)) = [-6, -5] \cup [-2, -1] $.
Теперь пересечем результат с решением третьего неравенства: $ ([-6, -5] \cup [-2, -1]) \cap ([-5, -4] \cup [-3, +\infty)) $.
Пересечение $ [-6, -5] $ с $ [-5, -4] \cup [-3, +\infty) $ дает $ \{-5\} $.
Пересечение $ [-2, -1] $ с $ [-5, -4] \cup [-3, +\infty) $ дает $ [-2, -1] $.
Объединяем результаты: $ \{-5\} \cup [-2, -1] $.
Ответ: $ x \in \{-5\} \cup [-2, -1] $.