Номер 171, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

171. a) $\frac{1}{x-1} \ge 0$;

б) $\frac{5}{2-x} \le 0$;

в) $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0$;

г) $\frac{3-4x}{5+x} \le 0$.

a) Решим неравенство $\frac{1}{x-1} \ge 0$.

Данная дробь будет больше или равна нулю, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть строго положительным (знаменатель не может быть равен нулю).

Получаем простое неравенство:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Решением является интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{5}{2-x} \le 0$.

Данная дробь будет меньше или равна нулю, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель дроби равен 5, что является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго отрицательным (знаменатель не может быть равен нулю).

Получаем неравенство:

$2 - x < 0$

$-x < -2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 2$

Решением является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0$.

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет входить в решение (закрашенная точка на числовой оси).

2. Нуль знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$. Эта точка не входит в область допустимых значений (знаменатель не может быть равен нулю), поэтому она всегда будет исключена из решения (выколотая точка на числовой оси).

3. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах:

Интервалы: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 8]$, $[8; +\infty)$.
Возьмем пробную точку из интервала $(8; +\infty)$, например $x=10$: $\frac{10-8}{2(10)+3} = \frac{2}{23} > 0$. Знак "+".
Возьмем пробную точку из интервала $(-1.5; 8]$, например $x=0$: $\frac{0-8}{2(0)+3} = \frac{-8}{3} < 0$. Знак "−".
Возьмем пробную точку из интервала $(-\infty; -1.5)$, например $x=-2$: $\frac{-2-8}{2(-2)+3} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак "+".

4. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Это интервалы $(-\infty; -1.5)$ и $[8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup [8; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{3-4x}{5+x} \le 0$.

Используем метод интервалов.

1. Найдем нуль числителя: $3 - 4x = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4} = 0.75$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение.

2. Найдем нуль знаменателя: $5 + x = 0 \implies x = -5$. Эта точка всегда исключается из решения.

3. Отметим точки на числовой оси и определим знаки выражения в интервалах:

Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0.75]$, $[0.75; +\infty)$.
Возьмем пробную точку из интервала $[0.75; +\infty)$, например $x=1$: $\frac{3-4(1)}{5+1} = \frac{-1}{6} < 0$. Знак "−".
Возьмем пробную точку из интервала $(-5; 0.75]$, например $x=0$: $\frac{3-4(0)}{5+0} = \frac{3}{5} > 0$. Знак "+".
Возьмем пробную точку из интервала $(-\infty; -5)$, например $x=-6$: $\frac{3-4(-6)}{5-6} = \frac{3+24}{-1} = -27 < 0$. Знак "−".

4. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "−").

Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $[0.75; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [0.75; +\infty)$.