Номер 165, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

165. Как решают нестрогие неравенства?

Нестрогие неравенства — это неравенства, которые содержат знаки «больше или равно» ($ \geq $) или «меньше или равно» ($ \leq $). Решение нестрогого неравенства, например, вида $f(x) \geq g(x)$, заключается в нахождении всех значений переменной $x$, при которых выполняется либо строгое неравенство $f(x) > g(x)$, либо равенство $f(x) = g(x)$.

Таким образом, чтобы решить нестрогое неравенство, нужно объединить решения соответствующего строгого неравенства и соответствующего уравнения.

Общий алгоритм решения нестрогих неравенств (например, методом интервалов для неравенства вида $F(x) \geq 0$) выглядит следующим образом:

1. Найти нули функции. Сначала решают соответствующее уравнение $F(x) = 0$. Найденные корни — это точки, в которых выражение равно нулю. Эти точки являются частью решения и на числовой оси отмечаются закрашенными (сплошными) точками.
2. Определить знаки на интервалах. Нули функции разбивают числовую ось на интервалы. Далее определяют знак выражения $F(x)$ на каждом из этих интервалов.
3. Выбрать нужные интервалы и объединить с нулями. Выбирают те интервалы, знак на которых соответствует знаку неравенства (для $F(x) \geq 0$ — это интервалы со знаком «+»). Решением исходного нестрогого неравенства будет объединение этих интервалов и точек, найденных в первом шаге. При записи ответа это означает, что для граничных точек используются квадратные скобки (например, $[a, b]$).

Пример:

Решим нестрогое неравенство $x^2 - x - 6 \geq 0$.

1. Сначала решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Эти точки — часть решения, так как при $x = -2$ и $x = 3$ выражение равно нулю, что удовлетворяет знаку $\geq$.

2. Нанесем точки $-2$ и $3$ на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

3. Определим знак выражения $x^2 - x - 6$ в каждом интервале. Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения на крайних интервалах и отрицательное — на центральном.
Нам нужны значения, где $x^2 - x - 6 \geq 0$, то есть где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -2)$ и $(3, +\infty)$, а также точки $-2$ и $3$.

4. Объединяя интервалы с их границами, получаем итоговый результат в виде объединения замкнутых лучей.

Важное замечание: При решении дробно-рациональных неравенств, например $\frac{A(x)}{B(x)} \geq 0$, необходимо всегда исключать из ответа нули знаменателя (точки, где $B(x)=0$), так как деление на ноль невозможно. В этих точках на числовой оси всегда будут "выколотые" (пустые) точки, а в записи ответа для них будут использоваться круглые скобки.

Ответ: Чтобы решить нестрогое неравенство, нужно найти множество решений соответствующего строгого неравенства и объединить его с множеством решений соответствующего уравнения.