Номер 168, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

168. a) $-x^2 + 2x - 1 \ge 0;$

б) $-x^2 + 4x - 4 \le 0;$

в) $3x^2 + 18x + 27 \le 0;$

г) $2x^2 - 20x + 50 \ge 0.$

а)

Решим неравенство $-x^2 + 2x - 1 \ge 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 + 2x - 1) \le (-1) \cdot 0$

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Получаем неравенство:

$(x - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в том случае, если $(x - 1)^2 = 0$.

Решим это уравнение:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $1$

б)

Решим неравенство $-x^2 + 4x - 4 \le 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 4x + 4 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

Получаем неравенство:

$(x - 2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

в)

Решим неравенство $3x^2 + 18x + 27 \le 0$.

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Выражение в левой части является полным квадратом суммы:

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Получаем неравенство:

$(x + 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 \le 0$ выполняется только при условии, что $(x + 3)^2 = 0$.

Решим уравнение:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Ответ: $-3$

г)

Решим неравенство $2x^2 - 20x + 50 \ge 0$.

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется:

$x^2 - 10x + 25 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

Получаем неравенство:

$(x - 5)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, это неравенство справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$