Номер 174, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

174. a) $1 \le |x - 2| \le 4;$

б) $5 \le |x - 3| \le 7;$

B) $1 < |x + 2| \le 3;$

г) $3 \le |x + 4| < 5.$

а) Решим двойное неравенство $1 \le |x - 2| \le 4$.

Это неравенство равносильно совокупности (объединению решений) двух двойных неравенств:

1) $1 \le x - 2 \le 4$

2) $-4 \le x - 2 \le -1$

Решим первое неравенство. Для этого прибавим 2 ко всем его частям:

$1 + 2 \le x - 2 + 2 \le 4 + 2$

$3 \le x \le 6$

Решением является промежуток $x \in [3, 6]$.

Решим второе неравенство. Также прибавим 2 ко всем его частям:

$-4 + 2 \le x - 2 + 2 \le -1 + 2$

$-2 \le x \le 1$

Решением является промежуток $x \in [-2, 1]$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение неравенства.

Ответ: $x \in [-2, 1] \cup [3, 6]$.

б) Решим двойное неравенство $5 \le |x - 3| \le 7$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств:

1) $5 \le x - 3 \le 7$

2) $-7 \le x - 3 \le -5$

Решим первое неравенство. Прибавим 3 ко всем его частям:

$5 + 3 \le x - 3 + 3 \le 7 + 3$

$8 \le x \le 10$

Решением является промежуток $x \in [8, 10]$.

Решим второе неравенство. Также прибавим 3 ко всем его частям:

$-7 + 3 \le x - 3 + 3 \le -5 + 3$

$-4 \le x \le -2$

Решением является промежуток $x \in [-4, -2]$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение.

Ответ: $x \in [-4, -2] \cup [8, 10]$.

в) Решим двойное неравенство $1 < |x + 2| \le 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств:

1) $1 < x + 2 \le 3$

2) $-3 \le x + 2 < -1$

Решим первое неравенство. Вычтем 2 из всех его частей:

$1 - 2 < x + 2 - 2 \le 3 - 2$

$-1 < x \le 1$

Решением является полуинтервал $x \in (-1, 1]$.

Решим второе неравенство. Также вычтем 2 из всех его частей:

$-3 - 2 \le x + 2 - 2 < -1 - 2$

$-5 \le x < -3$

Решением является полуинтервал $x \in [-5, -3)$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение.

Ответ: $x \in [-5, -3) \cup (-1, 1]$.

г) Решим двойное неравенство $3 \le |x + 4| < 5$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств:

1) $3 \le x + 4 < 5$

2) $-5 < x + 4 \le -3$

Решим первое неравенство. Вычтем 4 из всех его частей:

$3 - 4 \le x + 4 - 4 < 5 - 4$

$-1 \le x < 1$

Решением является полуинтервал $x \in [-1, 1)$.

Решим второе неравенство. Также вычтем 4 из всех его частей:

$-5 - 4 < x + 4 - 4 \le -3 - 4$

$-9 < x \le -7$

Решением является полуинтервал $x \in (-9, -7]$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение.

Ответ: $x \in (-9, -7] \cup [-1, 1)$.