Номер 172, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

172. a) $ \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \ge 0; $

б) $ \frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \ge 0; $

в) $ 1 - x \ge \frac{1}{x - 3}; $

г) $ \frac{5}{x} - 4 \le \frac{2x + 3}{x - 1}. $

а)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \geq 0 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $ x^2 - 9 \neq 0 $. Решая это уравнение, получаем $ (x-3)(x+3) \neq 0 $, откуда $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель. Для числителя $ x^2 - 4x + 3 $ найдем корни уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $. Таким образом, $ x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) $.

Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) $.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$ \frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \geq 0 $

Так как из ОДЗ мы знаем, что $ x \neq 3 $, мы можем сократить дробь на множитель $ (x-3) $, не забывая об этом ограничении. Неравенство упрощается до:

$ \frac{x-1}{x+3} \geq 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отметим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $ x=1 $ (корень числителя, точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое) и $ x=-3 $ (корень знаменателя, точка будет выколотой).

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $ (-\infty, -3) $, $ (-3, 1) $, $ (1, \infty) $. Определим знак дроби в каждом интервале:

- на интервале $ (-\infty, -3) $, например при $ x=-4 $, дробь $ \frac{-4-1}{-4+3} = 5 > 0 $. Знак «+».

- на интервале $ (-3, 1) $, например при $ x=0 $, дробь $ \frac{0-1}{0+3} = -\frac{1}{3} < 0 $. Знак «-».

- на интервале $ (1, \infty) $, например при $ x=2 $, дробь $ \frac{2-1}{2+3} = \frac{1}{5} > 0 $. Знак «+».

Нам нужны интервалы со знаком «+», а также точка, где выражение равно нулю. Решением неравенства $ \frac{x-1}{x+3} \geq 0 $ является $ x \in (-\infty, -3) \cup [1, \infty) $.

Теперь вспомним про ограничение $ x \neq 3 $, которое мы учли ранее. Число 3 попадает в промежуток $ [1, \infty) $, поэтому его необходимо исключить. Окончательное решение: $ x \in (-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty) $.

Ответ: $ (-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \geq 0 $.

ОДЗ: знаменатель $ 25 - x^2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $ x^2 - 7x + 10 = 0 $. Корни по теореме Виета: $ x_1 = 2, x_2 = 5 $. Значит, $ x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5) $.

Знаменатель: $ 25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5) $.

Подставим в неравенство:

$ \frac{(x-2)(x-5)}{-(x-5)(x+5)} \geq 0 $

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$ \frac{(x-2)(x-5)}{(x-5)(x+5)} \leq 0 $

Сократим дробь на $ (x-5) $, помня, что $ x \neq 5 $:

$ \frac{x-2}{x+5} \leq 0 $

Решим методом интервалов. Корни: $ x=2 $ (числитель, точка закрашенная) и $ x=-5 $ (знаменатель, точка выколотая).

Интервалы: $ (-\infty, -5) $, $ (-5, 2) $, $ (2, \infty) $. Определим знаки:

- на интервале $ (-\infty, -5) $: знак «+».

- на интервале $ (-5, 2) $: знак «-».

- на интервале $ (2, \infty) $: знак «+».

Нам нужен интервал со знаком «-» и точка, где выражение равно нулю. Это промежуток $ (-5, 2] $.

Проверим ограничения из ОДЗ: $ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $. Точка -5 уже исключена, а точка 5 не входит в полученный промежуток. Следовательно, решение окончательное.

Ответ: $ (-5, 2] $.

в)

Решим неравенство $ 1 - x \geq \frac{1}{x - 3} $.

ОДЗ: $ x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 1 - x - \frac{1}{x - 3} \geq 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(1-x)(x-3) - 1}{x - 3} \geq 0 $

$ \frac{x - 3 - x^2 + 3x - 1}{x - 3} \geq 0 $

$ \frac{-x^2 + 4x - 4}{x - 3} \geq 0 $

Вынесем минус из числителя:

$ \frac{-(x^2 - 4x + 4)}{x - 3} \geq 0 $

Числитель является полным квадратом: $ x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 $.

$ \frac{-(x-2)^2}{x - 3} \geq 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{(x-2)^2}{x - 3} \leq 0 $

Выражение $ (x-2)^2 $ всегда неотрицательно ($ \geq 0 $). Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:

1. Дробь равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель нет. $ (x-2)^2 = 0 \implies x=2 $. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($ 2 \neq 3 $), значит $ x=2 $ является решением.

2. Дробь меньше нуля. Так как числитель $ (x-2)^2 $ всегда положителен при $ x \neq 2 $, то для отрицательности дроби знаменатель должен быть отрицательным: $ x - 3 < 0 \implies x < 3 $.

Объединяя оба случая ($ x=2 $ и $ x < 3 $), получаем решение $ x \in (-\infty, 3) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (-\infty, 3) $.

г)

Решим неравенство $ \frac{5}{x} - 4 \leq \frac{2x + 3}{x - 1} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x - 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{5}{x} - 4 - \frac{2x + 3}{x - 1} \leq 0 $

Приведем к общему знаменателю $ x(x-1) $:

$ \frac{5(x-1) - 4x(x-1) - x(2x+3)}{x(x-1)} \leq 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{5x - 5 - 4x^2 + 4x - 2x^2 - 3x}{x(x-1)} \leq 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-6x^2 + 6x - 5}{x(x-1)} \leq 0 $

Рассмотрим числитель $ -6x^2 + 6x - 5 $. Найдем его корни, решив уравнение $ -6x^2 + 6x - 5 = 0 $ или $ 6x^2 - 6x + 5 = 0 $. Дискриминант $ D = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 36 - 120 = -84 $.

Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=6 > 0 $ у параболы $ y = 6x^2 - 6x + 5 $, она полностью лежит выше оси Ox, то есть $ 6x^2 - 6x + 5 > 0 $ для любого $ x $. Следовательно, числитель исходной дроби $ -6x^2 + 6x - 5 = -(6x^2 - 6x + 5) $ всегда отрицателен.

Наше неравенство $ \frac{\text{отрицательное число}}{x(x-1)} \leq 0 $ равносильно тому, что знаменатель должен быть строго положителен (дробь не может быть равна нулю, так как числитель в ноль не обращается):

$ x(x-1) > 0 $

Решим это простое квадратное неравенство. Корни $ x=0 $ и $ x=1 $. Ветви параболы $ y=x(x-1) $ направлены вверх, значит, она положительна вне интервала между корнями.

Решение: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $ и $ x \neq 1 $).

Ответ: $ (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.