Номер 176, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему неравенств (176–178):

176. а) $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x+1)(x-3) \le 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+3)(x+2) \le 0 \\ x(x-4) < 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \le 0 \\ x^2 + x - 2 > 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 5x + 6 \ge 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 0 \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} (x-1)(x-2) > 0, \\ (x+1)(x-3) \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x-1)(x-2) > 0$.

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $(x-1)(x-2)=0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=(x-1)(x-2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+1)(x-3) \le 0$.

Корни уравнения $(x+1)(x-3)=0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y=(x+1)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-1, 3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $((-\infty, 1) \cup (2, +\infty))$ и $[-1, 3]$.

Пересечение $[-1, 3]$ с $(-\infty, 1)$ дает интервал $[-1, 1)$.

Пересечение $[-1, 3]$ с $(2, +\infty)$ дает интервал $(2, 3]$.

Объединяя эти два результата, получаем решение системы.

Ответ: $[-1, 1) \cup (2, 3]$.

б)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} (x+3)(x+2) \le 0, \\ x(x-4) < 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x+3)(x+2) \le 0$.

Корни уравнения $(x+3)(x+2)=0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Ветви параболы $y=(x+3)(x+2)$ направлены вверх. Неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in [-3, -2]$.

2. Решим второе неравенство: $x(x-4) < 0$.

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы $y=x(x-4)$ направлены вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (0, 4)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3, -2] \cap (0, 4)$.

Отрезок $[-3, -2]$ содержит только отрицательные числа и ноль, а интервал $(0, 4)$ содержит только положительные числа. Эти множества не имеют общих точек.

Следовательно, пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

в)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \le 0, \\ x^2 + x - 2 > 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1=2$ и $x_2=3$. Неравенство можно записать как $(x-2)(x-3) \le 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение находится между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in [2, 3]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + x - 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$ и $x_2=1$. Неравенство можно записать как $(x+2)(x-1) > 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение находится вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[2, 3] \cap ((-\infty, -2) \cup (1, +\infty))$.

Отрезок $[2, 3]$ не пересекается с интервалом $(-\infty, -2)$.

Отрезок $[2, 3]$ полностью содержится в интервале $(1, +\infty)$, поэтому их пересечение равно $[2, 3]$.

Следовательно, решение системы - это отрезок $[2, 3]$.

Ответ: $[2, 3]$.

г)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 5x + 6 \ge 0, \\ x^2 - 4x + 3 < 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x + 6 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Неравенство можно записать как $(x+3)(x+2) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится вне отрезка между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Неравенство можно записать как $(x-1)(x-3) < 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (1, 3)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)) \cap (1, 3)$.

Интервал $(1, 3)$ не пересекается с $(-\infty, -3]$.

Найдем пересечение интервала $(1, 3)$ с $[-2, +\infty)$. Общая часть - это интервал $(1, 3)$.

Таким образом, решение всей системы - это интервал $(1, 3)$.

Ответ: $(1, 3)$.