Страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему неравенств (176–178):

176. а) $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x+1)(x-3) \le 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+3)(x+2) \le 0 \\ x(x-4) < 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \le 0 \\ x^2 + x - 2 > 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 5x + 6 \ge 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 0 \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} (x-1)(x-2) > 0, \\ (x+1)(x-3) \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x-1)(x-2) > 0$.

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $(x-1)(x-2)=0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=(x-1)(x-2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x+1)(x-3) \le 0$.

Корни уравнения $(x+1)(x-3)=0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y=(x+1)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-1, 3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $((-\infty, 1) \cup (2, +\infty))$ и $[-1, 3]$.

Пересечение $[-1, 3]$ с $(-\infty, 1)$ дает интервал $[-1, 1)$.

Пересечение $[-1, 3]$ с $(2, +\infty)$ дает интервал $(2, 3]$.

Объединяя эти два результата, получаем решение системы.

Ответ: $[-1, 1) \cup (2, 3]$.

б)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} (x+3)(x+2) \le 0, \\ x(x-4) < 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x+3)(x+2) \le 0$.

Корни уравнения $(x+3)(x+2)=0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Ветви параболы $y=(x+3)(x+2)$ направлены вверх. Неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in [-3, -2]$.

2. Решим второе неравенство: $x(x-4) < 0$.

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы $y=x(x-4)$ направлены вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (0, 4)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3, -2] \cap (0, 4)$.

Отрезок $[-3, -2]$ содержит только отрицательные числа и ноль, а интервал $(0, 4)$ содержит только положительные числа. Эти множества не имеют общих точек.

Следовательно, пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

в)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \le 0, \\ x^2 + x - 2 > 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 6 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1=2$ и $x_2=3$. Неравенство можно записать как $(x-2)(x-3) \le 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение находится между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in [2, 3]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + x - 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$ и $x_2=1$. Неравенство можно записать как $(x+2)(x-1) > 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение находится вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[2, 3] \cap ((-\infty, -2) \cup (1, +\infty))$.

Отрезок $[2, 3]$ не пересекается с интервалом $(-\infty, -2)$.

Отрезок $[2, 3]$ полностью содержится в интервале $(1, +\infty)$, поэтому их пересечение равно $[2, 3]$.

Следовательно, решение системы - это отрезок $[2, 3]$.

Ответ: $[2, 3]$.

г)

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 5x + 6 \ge 0, \\ x^2 - 4x + 3 < 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x + 6 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Неравенство можно записать как $(x+3)(x+2) \ge 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится вне отрезка между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Неравенство можно записать как $(x-1)(x-3) < 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (1, 3)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)) \cap (1, 3)$.

Интервал $(1, 3)$ не пересекается с $(-\infty, -3]$.

Найдем пересечение интервала $(1, 3)$ с $[-2, +\infty)$. Общая часть - это интервал $(1, 3)$.

Таким образом, решение всей системы - это интервал $(1, 3)$.

Ответ: $(1, 3)$.

177. a) $$\begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} < 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \ge 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} |x| < 2 \\ (x-3)(x-2) \ge 0 \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} |x| > 4 \\ (x+5)(x-4) \le 0 \end{cases}$$

a) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} < 0, \\ x+3 \ge 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $ \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} < 0 $ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $ (x+2)(x-1) = 0 $, откуда $ x_1 = -2, x_2 = 1 $.
Найдем нуль знаменателя (точка разрыва): $ x+1 = 0 $, откуда $ x_3 = -1 $.
Нанесем эти точки ($ -2, -1, 1 $) на числовую ось. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.
Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.
- При $ x > 1 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
- При $ -1 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $.
- При $ -2 < x < -1 $ (например, $ x=-1.5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $.
- При $ x < -2 $ (например, $ x=-3 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 1) $.

2. Решим второе неравенство: $ x+3 \ge 0 $.
$ x \ge -3 $.
Решение второго неравенства: $ x \in [-3; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть $ ((-\infty; -2) \cup (-1; 1)) \cap [-3; +\infty) $.
Пересечение множества $ [-3; +\infty) $ с $ (-\infty; -2) $ дает интервал $ [-3; -2) $.
Пересечение множества $ [-3; +\infty) $ с $ (-1; 1) $ дает интервал $ (-1; 1) $.
Объединив полученные интервалы, получаем итоговое решение системы.
Ответ: $ x \in [-3; -2) \cup (-1; 1) $.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \ge 0, \\ x+2 > 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $ \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \ge 0 $ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $ (x-2)(x+3) = 0 $, откуда $ x_1 = 2, x_2 = -3 $. Эти точки включаем в решение, так как неравенство нестрогое.
Найдем нуль знаменателя: $ x-1 = 0 $, откуда $ x_3 = 1 $. Эту точку исключаем.
Нанесем точки на числовую ось: $ -3 $ (закрашенная), $ 1 $ (выколотая), $ 2 $ (закрашенная).
Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -3]$, $[-3; 1)$, $(1; 2]$, $[2; +\infty)$.
- При $ x > 2 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
- При $ 1 < x < 2 $ (например, $ x=1.5 $): $ \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 $.
- При $ -3 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 $.
- При $ x < -3 $ (например, $ x=-4 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.
Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Решение первого неравенства: $ x \in [-3; 1) \cup [2; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ x+2 > 0 $.
$ x > -2 $.
Решение второго неравенства: $ x \in (-2; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ ([-3; 1) \cup [2; +\infty)) \cap (-2; +\infty) $.
Пересечение $ (-2; +\infty) $ с $ [-3; 1) $ дает интервал $ (-2; 1) $.
Пересечение $ (-2; +\infty) $ с $ [2; +\infty) $ дает интервал $ [2; +\infty) $.
Объединяем результаты.
Ответ: $ x \in (-2; 1) \cup [2; +\infty) $.

в) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |x| < 2, \\ (x-3)(x-2) \ge 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ |x| < 2 $.
Это неравенство равносильно системе $ -2 < x < 2 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (-2; 2) $.

2. Решим второе неравенство: $ (x-3)(x-2) \ge 0 $.
Это квадратичное неравенство. Графиком функции $ y = (x-3)(x-2) $ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $ x=2 $ и $ x=3 $.
Неравенство $ y \ge 0 $ выполняется, когда $ x $ находится вне отрезка между корнями (включая сами корни).
Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ (-2; 2) \cap ((-\infty; 2] \cup [3; +\infty)) $.
Разобьем на два пересечения:
- $ (-2; 2) \cap (-\infty; 2] = (-2; 2) $. Точка $ x=2 $ не входит в первый интервал.
- $ (-2; 2) \cap [3; +\infty) = \emptyset $ (пустое множество).
Объединение результатов дает $ (-2; 2) $.
Ответ: $ x \in (-2; 2) $.

г) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |x| > 4, \\ (x+5)(x-4) \le 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ |x| > 4 $.
Это неравенство равносильно совокупности $ x > 4 $ или $ x < -4 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ (x+5)(x-4) \le 0 $.
Это квадратичное неравенство. Графиком функции $ y = (x+5)(x-4) $ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $ x=-5 $ и $ x=4 $.
Неравенство $ y \le 0 $ выполняется, когда $ x $ находится на отрезке между корнями (включая сами корни).
Решение второго неравенства: $ x \in [-5; 4] $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty; -4) \cup (4; +\infty)) \cap [-5; 4] $.
Разобьем на два пересечения:
- $ (-\infty; -4) \cap [-5; 4] = [-5; -4) $.
- $ (4; +\infty) \cap [-5; 4] = \emptyset $. Точка $ x=4 $ не входит в первый интервал.
Объединение результатов дает $ [-5; -4) $.
Ответ: $ x \in [-5; -4) $.

178. a) $\begin{cases} \frac{x - 3}{x^2 - 9} \le 0, \\ \frac{x^2 - 4}{x + 2} \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + 1}{x^2 - 1} \ge 0, \\ \frac{x^2 - 16}{x - 4} \ge 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x^2 - 5x + 6}{2x^2 - 3x + 1} \le 0, \\ x^2 - 4 \le 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{(x - 3)^2}{3x^2 - 5x + 2} \le 0, \\ x(x - 4) \le 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} (x + 1)(x^2 - x - 6) \ge 0, \\ (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \le 0, \\ (x + 3)(x^2 - 4) \ge 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} (x + 1)(x^2 + 8x + 15) \le 0, \\ (x + 2)(x^2 + 10x + 24) \ge 0, \\ (x + 3)(x^2 + 9x + 20) \ge 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x-3}{x^2-9} \le 0, \\ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x-3}{x^2-9} \le 0 $.
Разложим знаменатель на множители: $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.
Неравенство принимает вид $ \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} \le 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \ne 3, x \ne -3 $.
При $ x \ne 3 $ сокращаем дробь: $ \frac{1}{x+3} \le 0 $.
Это неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен: $ x+3 < 0 \Rightarrow x < -3 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty, -3) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2-4}{x+2} \ge 0 $.
Разложим числитель на множители: $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $.
Неравенство принимает вид $ \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} \ge 0 $.
ОДЗ: $ x \ne -2 $.
При $ x \ne -2 $ сокращаем дробь: $ x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 $.
Решение второго неравенства: $ x \in [2, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений.
Пересечение множеств $ (-\infty, -3) $ и $ [2, +\infty) $ пусто, так как нет чисел, которые одновременно меньше -3 и больше либо равны 2.
Ответ: $ \emptyset $ (нет решений).

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+1}{x^2-1} \ge 0, \\ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x+1}{x^2-1} \ge 0 $.
Разложим знаменатель: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $.
Неравенство: $ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \ge 0 $.
ОДЗ: $ x \ne 1, x \ne -1 $.
При $ x \ne -1 $ сокращаем: $ \frac{1}{x-1} \ge 0 $.
Это выполняется, когда $ x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (1, +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x^2-16}{x-4} \ge 0 $.
Разложим числитель: $ x^2-16 = (x-4)(x+4) $.
Неравенство: $ \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} \ge 0 $.
ОДЗ: $ x \ne 4 $.
При $ x \ne 4 $ сокращаем: $ x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4 $.
С учетом ОДЗ, решение второго неравенства: $ x \in [-4, 4) \cup (4, +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ (1, +\infty) \cap ([-4, 4) \cup (4, +\infty)) $.
Пересечением является множество $ (1, 4) \cup (4, +\infty) $.
Ответ: $ x \in (1, 4) \cup (4, +\infty) $.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2-5x+6}{2x^2-3x+1} \le 0, \\ x^2-4 \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x^2-5x+6}{2x^2-3x+1} \le 0 $.
Разложим числитель: $ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) $.
Разложим знаменатель: $ 2x^2-3x+1 = 2(x-1)(x-1/2) = (x-1)(2x-1) $.
Неравенство: $ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(2x-1)} \le 0 $.
Корни числителя (включаются): 2, 3. Корни знаменателя (исключаются): 1/2, 1.
Методом интервалов находим, что неравенство выполняется на промежутках $ (1/2, 1) $ и $ [2, 3] $.
Решение первого неравенства: $ x \in (1/2, 1) \cup [2, 3] $.

2. Решим второе неравенство: $ x^2-4 \le 0 $.
$ (x-2)(x+2) \le 0 $.
Корни: -2, 2. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $ x \in [-2, 2] $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((1/2, 1) \cup [2, 3]) \cap [-2, 2] $.
Пересечение $ (1/2, 1) $ с $ [-2, 2] $ дает $ (1/2, 1) $.
Пересечение $ [2, 3] $ с $ [-2, 2] $ дает точку $ \{2\} $.
Объединяем результаты: $ (1/2, 1) \cup \{2\} $.
Ответ: $ x \in (1/2, 1) \cup \{2\} $.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{(x-3)^2}{3x^2-5x+2} \le 0, \\ x(x-4) \le 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{(x-3)^2}{3x^2-5x+2} \le 0 $.
Числитель $ (x-3)^2 \ge 0 $ для всех $ x $. Равенство нулю при $ x=3 $.
Неравенство выполняется в двух случаях:
а) Числитель равен нулю, а знаменатель не равен: $ x=3 $. Проверим знаменатель: $ 3(3)^2-5(3)+2 = 27-15+2 = 14 \ne 0 $. Значит, $ x=3 $ — решение.
б) Числитель положителен ($x \ne 3$), а знаменатель строго отрицателен: $ 3x^2-5x+2 < 0 $.
Корни знаменателя: $ x_1 = 2/3, x_2 = 1 $. Ветви параболы вверх, значит, $ 3x^2-5x+2 < 0 $ при $ x \in (2/3, 1) $.
Решение первого неравенства: $ x \in (2/3, 1) \cup \{3\} $.

2. Решим второе неравенство: $ x(x-4) \le 0 $.
Корни: 0, 4. Ветви параболы вверх, неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $ x \in [0, 4] $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((2/3, 1) \cup \{3\}) \cap [0, 4] $.
Пересечение $ (2/3, 1) $ с $ [0, 4] $ дает $ (2/3, 1) $.
Пересечение $ \{3\} $ с $ [0, 4] $ дает $ \{3\} $.
Объединяем результаты: $ (2/3, 1) \cup \{3\} $.
Ответ: $ x \in (2/3, 1) \cup \{3\} $.

д)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x+1)(x^2-x-6) \ge 0, \\ (x-1)(x^2-5x+6) \le 0, \\ (x+3)(x^2-4) \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x+1)(x-3)(x+2) \ge 0 $.
Корни: -2, -1, 3. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-2, -1] \cup [3, +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ (x-1)(x-2)(x-3) \le 0 $.
Корни: 1, 2, 3. Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, 1] \cup [2, 3] $.

3. Решим третье неравенство: $ (x+3)(x-2)(x+2) \ge 0 $.
Корни: -3, -2, 2. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-3, -2] \cup [2, +\infty) $.

4. Найдем пересечение трех множеств решений.
Сначала найдем пересечение первых двух: $ ([-2, -1] \cup [3, +\infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [2, 3]) = [-2, -1] \cup \{3\} $.
Теперь пересечем результат с решением третьего неравенства: $ ([-2, -1] \cup \{3\}) \cap ([-3, -2] \cup [2, +\infty)) $.
Пересечение $ [-2, -1] $ с $ [-3, -2] \cup [2, +\infty) $ дает $ \{-2\} $.
Пересечение $ \{3\} $ с $ [-3, -2] \cup [2, +\infty) $ дает $ \{3\} $.
Объединяем результаты: $ \{-2\} \cup \{3\} $.
Ответ: $ x \in \{-2, 3\} $.

е)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x+1)(x^2+8x+15) \le 0, \\ (x+2)(x^2+10x+24) \ge 0, \\ (x+3)(x^2+9x+20) \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ (x+1)(x+3)(x+5) \le 0 $.
Корни: -5, -3, -1. Методом интервалов получаем решение: $ x \in (-\infty, -5] \cup [-3, -1] $.

2. Решим второе неравенство: $ (x+2)(x+4)(x+6) \ge 0 $.
Корни: -6, -4, -2. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-6, -4] \cup [-2, +\infty) $.

3. Решим третье неравенство: $ (x+3)(x+4)(x+5) \ge 0 $.
Корни: -5, -4, -3. Методом интервалов получаем решение: $ x \in [-5, -4] \cup [-3, +\infty) $.

4. Найдем пересечение трех множеств решений.
Сначала пересечение первых двух: $ ((-\infty, -5] \cup [-3, -1]) \cap ([-6, -4] \cup [-2, +\infty)) = [-6, -5] \cup [-2, -1] $.
Теперь пересечем результат с решением третьего неравенства: $ ([-6, -5] \cup [-2, -1]) \cap ([-5, -4] \cup [-3, +\infty)) $.
Пересечение $ [-6, -5] $ с $ [-5, -4] \cup [-3, +\infty) $ дает $ \{-5\} $.
Пересечение $ [-2, -1] $ с $ [-5, -4] \cup [-3, +\infty) $ дает $ [-2, -1] $.
Объединяем результаты: $ \{-5\} \cup [-2, -1] $.
Ответ: $ x \in \{-5\} \cup [-2, -1] $.