Страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

157. a) Что значит решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным?

б) Как решают системы рациональных неравенств с одним неизвестным?

a) Решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным — это значит найти множество всех значений неизвестной переменной, при каждом из которых все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Иными словами, это означает найти пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Если система состоит, например, из двух неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения, то решением системы будет множество всех таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяют и первому, и второму неравенству.
Это множество (решение системы) может быть интервалом, объединением интервалов, отдельным числом или пустым множеством (если таких общих значений переменной не существует).
Ответ: Найти все значения переменной, которые являются решениями каждого из неравенств системы одновременно, то есть найти пересечение множеств решений всех неравенств системы.

б) Системы рациональных неравенств с одним неизвестным решают по следующему алгоритму:
1. Решение каждого неравенства по отдельности. Каждое рациональное неравенство в системе решается независимо от других. Наиболее распространенным методом решения рационального неравенства, например, вида $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$, является метод интервалов. Этот метод включает следующие шаги:
- Неравенство приводится к стандартному виду, где в правой части стоит ноль.
- Находятся корни числителя ($P(x) = 0$) и корни знаменателя ($Q(x) = 0$). Эти точки называются критическими.
- Критические точки наносятся на числовую ось. Корни знаменателя всегда отмечаются "выколотыми" (пустыми) точками, так как они не входят в область определения выражения. Корни числителя отмечаются закрашенными точками для нестрогих неравенств ($\ge, \le$) и выколотыми для строгих ($>, <$).
- Определяется знак выражения в каждом из полученных интервалов, например, путем подстановки пробной точки из каждого интервала.
- Выбираются интервалы, знаки в которых соответствуют знаку неравенства. Объединение этих интервалов является решением одного неравенства.

2. Нахождение пересечения множеств решений. После того как найдено множество решений для каждого неравенства системы, необходимо найти их пересечение. Пересечение множеств — это общая часть всех этих множеств.
Для наглядности удобно изобразить множества решений всех неравенств на одной числовой оси. Область, где штриховки всех решений пересекаются (накладываются друг на друга), и будет являться решением всей системы.
Например, если решением первого неравенства является множество $x \in (-1; 5)$, а решением второго — $x \in [2; +\infty)$, то решением системы будет пересечение этих множеств, то есть $x \in [2; 5)$.
Ответ: Сначала решают каждое неравенство системы по отдельности, а затем находят пересечение полученных множеств решений.

158. Является ли какое-нибудь из чисел: $-1, 1, 0, 2 -$ решением системы неравенств:

а) $\begin{cases} (x-3)^2 > 0, \\ (x-2)(x-5) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+4)(x-4) > 0, \\ (x+5)^2 > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0, \\ \frac{1}{x-4} < 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x+4}{x} > 5, \\ x^2 - 6x - 8 < 0? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли число решением системы неравенств, нужно подставить это число в каждое неравенство системы. Если все неравенства обращаются в верные числовые неравенства, то число является решением системы. Если хотя бы одно неравенство оказывается неверным, то число не является решением.

а) $\begin{cases} (x - 3)^2 > 0 \\ (x - 2)(x - 5) < 0 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел: $-1, 1, 0, 2$.

• При $x = -1$:
  $(-1 - 3)^2 = (-4)^2 = 16$. Неравенство $16 > 0$ верно.
  $(-1 - 2)(-1 - 5) = (-3)(-6) = 18$. Неравенство $18 < 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением системы.
• При $x = 1$:
  $(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$. Неравенство $4 > 0$ верно.
  $(1 - 2)(1 - 5) = (-1)(-4) = 4$. Неравенство $4 < 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением системы.
• При $x = 0$:
  $(0 - 3)^2 = (-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 0$ верно.
  $(0 - 2)(0 - 5) = (-2)(-5) = 10$. Неравенство $10 < 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением системы.
• При $x = 2$:
  $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$. Неравенство $1 > 0$ верно.
  $(2 - 2)(2 - 5) = 0 \cdot (-3) = 0$. Неравенство $0 < 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением системы.

Ответ: Нет, ни одно из чисел не является решением.

б) $\begin{cases} (x + 4)(x - 4) > 0 \\ (x + 5)^2 > 0 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел. Для того чтобы число было решением, оно должно удовлетворять обоим неравенствам. Проверим первое неравенство, так как оно более строгое.

• При $x = -1$:
  $(-1 + 4)(-1 - 4) = 3 \cdot (-5) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $-1$ не является решением.
• При $x = 1$:
  $(1 + 4)(1 - 4) = 5 \cdot (-3) = -15$. Неравенство $-15 > 0$ неверно.
  Число $1$ не является решением.
• При $x = 0$:
  $(0 + 4)(0 - 4) = 4 \cdot (-4) = -16$. Неравенство $-16 > 0$ неверно.
  Число $0$ не является решением.
• При $x = 2$:
  $(2 + 4)(2 - 4) = 6 \cdot (-2) = -12$. Неравенство $-12 > 0$ неверно.
  Число $2$ не является решением.

Ответ: Нет, ни одно из чисел не является решением.

в) $\begin{cases} x^2 - 3x + 5 > 0 \\ \frac{1}{x - 4} < 2 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел: $-1, 1, 0, 2$.

• При $x = -1$:
  $(-1)^2 - 3(-1) + 5 = 1 + 3 + 5 = 9$. Неравенство $9 > 0$ верно.
  $\frac{1}{-1 - 4} = \frac{1}{-5} = -0.2$. Неравенство $-0.2 < 2$ верно.
  Число $-1$ является решением системы.
• При $x = 1$:
  $1^2 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$. Неравенство $3 > 0$ верно.
  $\frac{1}{1 - 4} = \frac{1}{-3}$. Неравенство $-\frac{1}{3} < 2$ верно.
  Число $1$ является решением системы.
• При $x = 0$:
  $0^2 - 3(0) + 5 = 5$. Неравенство $5 > 0$ верно.
  $\frac{1}{0 - 4} = -\frac{1}{4}$. Неравенство $-\frac{1}{4} < 2$ верно.
  Число $0$ является решением системы.
• При $x = 2$:
  $2^2 - 3(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3$. Неравенство $3 > 0$ верно.
  $\frac{1}{2 - 4} = -\frac{1}{2}$. Неравенство $-\frac{1}{2} < 2$ верно.
  Число $2$ является решением системы.

Ответ: Да, все указанные числа ($-1, 1, 0, 2$) являются решениями системы.

г) $\begin{cases} \frac{x + 4}{x} > 5 \\ x^2 - 6x - 8 < 0 \end{cases}$

Проверим каждое из чисел: $-1, 1, 0, 2$.

• При $x = -1$:
  $\frac{-1 + 4}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$. Неравенство $-3 > 5$ неверно.
  Число $-1$ не является решением.
• При $x = 1$:
  $\frac{1 + 4}{1} = 5$. Неравенство $5 > 5$ неверно (т.к. $5$ равно $5$, а не больше).
  Число $1$ не является решением.
• При $x = 0$:
  В первом неравенстве $\frac{0 + 4}{0}$ происходит деление на ноль, что недопустимо. Число $0$ не входит в область допустимых значений.
  Число $0$ не является решением.
• При $x = 2$:
  $\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Неравенство $3 > 5$ неверно.
  Число $2$ не является решением.

Ответ: Нет, ни одно из чисел не является решением.

Решите систему неравенств (159–164):

159. a) $\begin{cases} (x+1)(x-3) < 0, \\ (x+2)(x-1) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x-5)(x-6) > 0, \\ (x+3)(x-4) < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:$\begin{cases}(x+1)(x-3) < 0, \\(x+2)(x-1) < 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x+1)(x-3) < 0$.
Это квадратичное неравенство. Рассмотрим функцию $y = (x+1)(x-3)$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение $(x+1)(x-3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает отрицательные значения между корнями. Таким образом, решение первого неравенства — это интервал $x \in (-1; 3)$.

Решим второе неравенство: $(x+2)(x-1) < 0$.
Рассмотрим функцию $y = (x+2)(x-1)$. Ее график — парабола с ветвями вверх. Нули функции: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Функция принимает отрицательные значения между корнями. Решение второго неравенства — это интервал $x \in (-2; 1)$.

Для решения системы найдем пересечение полученных множеств решений: $(-1; 3) \cap (-2; 1)$.
Нанесем оба интервала на числовую ось. Общей частью для этих двух интервалов будет интервал от $-1$ до $1$.
Следовательно, решением системы является $x \in (-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

б) Решим систему неравенств:$\begin{cases}(x-5)(x-6) > 0, \\(x+3)(x-4) < 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-5)(x-6) > 0$.
Рассмотрим функцию $y = (x-5)(x-6)$. Ее график — парабола с ветвями вверх. Нули функции: $x_1 = 5$ и $x_2 = 6$.
Функция принимает положительные значения вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства — это объединение интервалов $x \in (-\infty; 5) \cup (6; \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x+3)(x-4) < 0$.
Рассмотрим функцию $y = (x+3)(x-4)$. Ее график — парабола с ветвями вверх. Нули функции: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Функция принимает отрицательные значения между корнями. Решение второго неравенства — это интервал $x \in (-3; 4)$.

Для решения системы найдем пересечение полученных множеств решений: $\left( (-\infty; 5) \cup (6; \infty) \right) \cap (-3; 4)$.
Нанесем множества на числовую ось. Интервал $(-3; 4)$ полностью содержится в интервале $(-\infty; 5)$. Пересечение с интервалом $(6; \infty)$ пусто.Следовательно, общей частью является интервал $(-3; 4)$.
Решением системы является $x \in (-3; 4)$.
Ответ: $x \in (-3; 4)$.

160. a) $\begin{cases} (x-1)(x-2) < 0, \\ x(x-3) > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+10)(x-13) > 0, \\ (x+8)(x-12) < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 4 < 0, \\ x > 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < -2, \\ x^2 - 9 > 0. \end{cases}$

а)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-1)(x-2) < 0 \\ x(x-3) > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x-1)(x-2) < 0$.
Найдем нули функции $y=(x-1)(x-2)$: $x_1=1$, $x_2=2$.
Графиком функции является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение этого неравенства: $1 < x < 2$, или $x \in (1, 2)$.
2. Решим второе неравенство $x(x-3) > 0$.
Найдем нули функции $y=x(x-3)$: $x_1=0$, $x_2=3$.
Графиком функции является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, решение этого неравенства: $x < 0$ или $x > 3$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
3. Найдем пересечение решений. Нам нужно найти общие решения для интервалов $(1, 2)$ и $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
Эти множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно принадлежали бы интервалу $(1, 2)$ и множеству $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

б)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x+10)(x-13) > 0 \\ (x+8)(x-12) < 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x+10)(x-13) > 0$.
Нули функции $y=(x+10)(x-13)$: $x_1=-10$, $x_2=13$.
Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Решение: $x < -10$ или $x > 13$, то есть $x \in (-\infty, -10) \cup (13, \infty)$.
2. Решим второе неравенство $(x+8)(x-12) < 0$.
Нули функции $y=(x+8)(x-12)$: $x_1=-8$, $x_2=12$.
Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Решение: $-8 < x < 12$, то есть $x \in (-8, 12)$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -10) \cup (13, \infty)) \cap (-8, 12)$.
Интервал $(-8, 12)$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -10) \cup (13, \infty)$.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

в)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x > 9 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4 < 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x+2) < 0$.
Нули: $x_1=-2$, $x_2=2$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $-2 < x < 2$, или $x \in (-2, 2)$.
2. Второе неравенство уже дано в решенном виде: $x > 9$, или $x \in (9, \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-2, 2) \cap (9, \infty)$.
Интервалы $(-2, 2)$ и $(9, \infty)$ не пересекаются.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

г)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x < -2 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases} $
1. Первое неравенство: $x < -2$, или $x \in (-\infty, -2)$.
2. Решим второе неравенство $x^2 - 9 > 0$.
Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$.
Нули: $x_1=-3$, $x_2=3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x < -3$ или $x > 3$, или $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -2) \cap ((-\infty, -3) \cup (3, \infty))$.
Чтобы найти пересечение, рассмотрим два случая:
а) Пересечение $(-\infty, -2)$ и $(-\infty, -3)$. Общей частью является интервал $(-\infty, -3)$.
б) Пересечение $(-\infty, -2)$ и $(3, \infty)$. Эти интервалы не пересекаются.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение системы.
Решение: $x \in (-\infty, -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

161. а) $\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0, \\ (x-1)(x-3) > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+3)(x+2) < 0, \\ (x-4)(x+2) > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x+1)(x-1) > 0, \\ (x+1)(x-3) < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x+4)(x-6) > 0, \\ x^2 - 1 < 0. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x-1)(x-2) > 0 \\ (x-1)(x-3) > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x-1)(x-2) > 0$.
Это квадратичное неравенство. График функции $y = (x-1)(x-2)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Корни уравнения $(x-1)(x-2)=0$ равны $x_1=1$ и $x_2=2$. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$.

2. Решим второе неравенство $(x-1)(x-3) > 0$.
Аналогично, это парабола с ветвями вверх. Корни уравнения $(x-1)(x-3)=0$ равны $x_1=1$ и $x_2=3$. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.
Общим для обоих решений является интервал $(-\infty; 1)$, а также пересечение интервалов $(2; \infty)$ и $(3; \infty)$, которым является интервал $(3; \infty)$.
Таким образом, решение системы: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

б)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x+3)(x+2) < 0 \\ (x-4)(x+2) > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x+3)(x+2) < 0$.
График функции $y = (x+3)(x+2)$ — парабола с ветвями вверх. Корни уравнения $(x+3)(x+2)=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-3; -2)$.

2. Решим второе неравенство $(x-4)(x+2) > 0$.
График функции $y = (x-4)(x+2)$ — парабола с ветвями вверх. Корни уравнения $(x-4)(x+2)=0$ равны $x_1=-2$ и $x_2=4$. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-3; -2)$ и $x \in (-\infty; -2) \cup (4; \infty)$.
Пересекая интервал $(-3; -2)$ с объединением $(-\infty; -2) \cup (4; \infty)$, мы получаем интервал от -3 до -2, не включая концы.
Таким образом, решение системы: $x \in (-3; -2)$.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.

в)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x+1)(x-1) > 0 \\ (x+1)(x-3) < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x+1)(x-1) > 0$.
Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-1$ и $x_2=1$. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

2. Решим второе неравенство $(x+1)(x-3) < 0$.
Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-1$ и $x_2=3$. Неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-1; 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$ и $x \in (-1; 3)$.
Пересечение этих множеств — это та часть интервала $(-1; 3)$, которая также принадлежит множеству $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$. Это интервал $(1; 3)$.
Таким образом, решение системы: $x \in (1; 3)$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

г)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} (x+4)(x-6) > 0 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $(x+4)(x-6) > 0$.
Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-4$ и $x_2=6$. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (6; \infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 1 < 0$.
Разложим на множители: $(x-1)(x+1) < 0$. Это парабола с ветвями вверх и корнями $x_1=-1$ и $x_2=1$. Неравенство выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-1; 1)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Нам нужно найти общую часть для множеств $x \in (-\infty; -4) \cup (6; \infty)$ и $x \in (-1; 1)$.
На числовой оси видно, что интервал $(-1; 1)$ не имеет общих точек с объединением интервалов $(-\infty; -4) \cup (6; \infty)$.
Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

162. a) $\begin{cases} (x-5)(x+1) > 0, \\ (x-10)^2 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+2)(x+3) < 0, \\ (x+2)^2 > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0, \\ x^2 (x-7)^2 > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x^2 - 1)(x+3) > 0, \\ (x+5)^2 (x-1)^2 > 0. \end{cases}$

а) Дана система неравенств: $ \begin{cases} (x-5)(x+1) > 0, \\ (x-10)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x-5)(x+1) > 0$. Корнями соответствующего уравнения $(x-5)(x+1)=0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y=(x-5)(x+1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $(x-10)^2 > 0$. Выражение в левой части является квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно. Оно обращается в ноль только при $x-10=0$, то есть при $x=10$. Поскольку неравенство строгое, это значение необходимо исключить. Решение второго неравенства: $x \neq 10$, что можно записать как $x \in (-\infty; 10) \cup (10; \infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Для этого из множества решений первого неравенства $(-\infty; -1) \cup (5; \infty)$ нужно исключить точку $x=10$. Эта точка попадает в интервал $(5; \infty)$.
Таким образом, решением системы является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (5; 10) \cup (10; \infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (5; 10) \cup (10; \infty)$.

б) Дана система неравенств: $ \begin{cases} (x+2)(x+3) < 0, \\ (x+2)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x+2)(x+3) < 0$. Корни уравнения $(x+2)(x+3)=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-3; -2)$.
2. Решим второе неравенство $(x+2)^2 > 0$. Выражение $(x+2)^2$ неотрицательно для любого $x$ и равно нулю при $x=-2$. Так как неравенство строгое, решение: $x \neq -2$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-3; -2)$ и $x \neq -2$. Интервал $(-3; -2)$ по определению не включает свои концы, в том числе точку $x=-2$. Следовательно, второе условие уже выполнено для всех $x$ из этого интервала.
Решением системы является интервал $(-3; -2)$.
Ответ: $(-3; -2)$.

в) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0, \\ x^2(x-7)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Разложим на множители: $(x-1)(x-3) > 0$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $x^2(x-7)^2 > 0$. Его можно записать как $(x(x-7))^2 > 0$. Левая часть - это квадрат, который всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=0$ или $x-7=0$, то есть при $x=0$ и $x=7$. Поскольку неравенство строгое, эти значения нужно исключить. Решение второго неравенства: $x \neq 0$ и $x \neq 7$.
3. Найдем пересечение решений. Из множества $(-\infty; 1) \cup (3; \infty)$ нужно исключить точки $x=0$ и $x=7$. Точка $x=0$ находится в интервале $(-\infty; 1)$, а точка $x=7$ находится в интервале $(3; \infty)$. Исключая эти точки, получаем:
$((-\infty; 1) \setminus \{0\}) \cup ((3; \infty) \setminus \{7\}) = ((-\infty; 0) \cup (0; 1)) \cup ((3; 7) \cup (7; \infty))$.
Общее решение: $(-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (3; 7) \cup (7; \infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (3; 7) \cup (7; \infty)$.

г) Дана система неравенств: $ \begin{cases} (x^2-1)(x+3) > 0, \\ (x+5)^2(x-1)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x^2-1)(x+3) > 0$. Разложим на множители: $(x-1)(x+1)(x+3) > 0$. Найдем корни соответствующего уравнения: $x_1=-3$, $x_2=-1$, $x_3=1$. Используем метод интервалов. Нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:
- при $x \in (1; \infty)$, например $x=2$: $(+)(+)(+) > 0$
- при $x \in (-1; 1)$, например $x=0$: $(-)(+)(+) < 0$
- при $x \in (-3; -1)$, например $x=-2$: $(-)(-)(+) > 0$
- при $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $(-)(-)(-) < 0$
Выбираем интервалы со знаком "+". Решение первого неравенства: $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $(x+5)^2(x-1)^2 > 0$. Его можно записать как $((x+5)(x-1))^2 > 0$. Левая часть всегда неотрицательна. Она равна нулю при $x+5=0$ (т.е. $x=-5$) и при $x-1=0$ (т.е. $x=1$). Так как неравенство строгое, эти точки надо исключить. Решение второго неравенства: $x \neq -5$ и $x \neq 1$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$ и ($x \neq -5$ и $x \neq 1$). Точка $x=-5$ не входит в множество решений первого неравенства. Точка $x=1$ является граничной точкой для интервала $(1; \infty)$ и не входит в него. Следовательно, второе условие не накладывает дополнительных ограничений на множество $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$.
Решением системы является $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$.
Ответ: $(-3; -1) \cup (1; \infty)$.

163. a) $\begin{cases} (x - 2)(x - 3) > 0, \\ \frac{x + 2}{(x - 4)(x + 4)} > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 2)(x + 10) < 0, \\ \frac{x - 3}{(x + 4)(x + 7)} < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x - 5}{x + 3} > 0, \\ \frac{x + 7}{x - 3} < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x + 3}{x - 4} < 0, \\ \frac{x + 8}{x - 7} > 0. \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $(x-2)(x-3) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-3) = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Графиком функции $y=(x-2)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+2}{(x-4)(x+4)} > 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x = -2$. Нули знаменателя: $x = 4$ и $x = -4$. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 4)$ и $(4, \infty)$. Определив знак выражения в каждом интервале, находим, что выражение положительно на интервалах $(-4, -2)$ и $(4, \infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-4, -2) \cup (4, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$((-\infty, 2) \cup (3, \infty)) \cap ((-4, -2) \cup (4, \infty))$

Пересечением является множество $(-4, -2) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (4, \infty)$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $(x+2)(x+10) < 0$.

Корни уравнения $(x+2)(x+10) = 0$ равны $x_1=-2$ и $x_2=-10$. Парабола $y=(x+2)(x+10)$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-10, -2)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-3}{(x+4)(x+7)} < 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x=3$. Нули знаменателя: $x=-4$ и $x=-7$. Отметим точки на числовой оси: $-7, -4, 3$. Они разбивают прямую на интервалы. Определив знак выражения в каждом интервале, находим, что выражение отрицательно на интервалах $(-\infty, -7)$ и $(-4, 3)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (-4, 3)$.

3. Найдем пересечение решений:

$(-10, -2) \cap ((-\infty, -7) \cup (-4, 3))$

Пересекая интервал $(-10, -2)$ с объединением $(-\infty, -7) \cup (-4, 3)$, получаем два интервала: $(-10, -7)$ и $(-4, -2)$.

Ответ: $x \in (-10, -7) \cup (-4, -2)$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $\frac{x-5}{x+3} > 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x=5$. Нуль знаменателя: $x=-3$. Выражение положительно, когда числитель и знаменатель одного знака. Это происходит при $x > 5$ или при $x < -3$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+7}{x-3} < 0$.

Применим метод интервалов. Нуль числителя: $x=-7$. Нуль знаменателя: $x=3$. Выражение отрицательно, когда числитель и знаменатель разных знаков. Это происходит при $-7 < x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-7, 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$((-\infty, -3) \cup (5, \infty)) \cap (-7, 3)$

Пересечение множества $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ с интервалом $(-7, 3)$ дает интервал $(-7, -3)$.

Ответ: $x \in (-7, -3)$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство $\frac{x+3}{x-4} < 0$.

Методом интервалов. Нули: $x=-3$ и $x=4$. Выражение отрицательно, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, то есть между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3, 4)$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x+8}{x-7} > 0$.

Методом интервалов. Нули: $x=-8$ и $x=7$. Выражение положительно, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -8) \cup (7, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений:

$(-3, 4) \cap ((-\infty, -8) \cup (7, \infty))$

Интервал $(-3, 4)$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -8) \cup (7, \infty)$. Пересечение является пустым множеством, $\emptyset$.

Ответ: решений нет