Номер 159, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему неравенств (159–164):

159. a) $\begin{cases} (x+1)(x-3) < 0, \\ (x+2)(x-1) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x-5)(x-6) > 0, \\ (x+3)(x-4) < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:$\begin{cases}(x+1)(x-3) < 0, \\(x+2)(x-1) < 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x+1)(x-3) < 0$.
Это квадратичное неравенство. Рассмотрим функцию $y = (x+1)(x-3)$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение $(x+1)(x-3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает отрицательные значения между корнями. Таким образом, решение первого неравенства — это интервал $x \in (-1; 3)$.

Решим второе неравенство: $(x+2)(x-1) < 0$.
Рассмотрим функцию $y = (x+2)(x-1)$. Ее график — парабола с ветвями вверх. Нули функции: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Функция принимает отрицательные значения между корнями. Решение второго неравенства — это интервал $x \in (-2; 1)$.

Для решения системы найдем пересечение полученных множеств решений: $(-1; 3) \cap (-2; 1)$.
Нанесем оба интервала на числовую ось. Общей частью для этих двух интервалов будет интервал от $-1$ до $1$.
Следовательно, решением системы является $x \in (-1; 1)$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

б) Решим систему неравенств:$\begin{cases}(x-5)(x-6) > 0, \\(x+3)(x-4) < 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-5)(x-6) > 0$.
Рассмотрим функцию $y = (x-5)(x-6)$. Ее график — парабола с ветвями вверх. Нули функции: $x_1 = 5$ и $x_2 = 6$.
Функция принимает положительные значения вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства — это объединение интервалов $x \in (-\infty; 5) \cup (6; \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x+3)(x-4) < 0$.
Рассмотрим функцию $y = (x+3)(x-4)$. Ее график — парабола с ветвями вверх. Нули функции: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Функция принимает отрицательные значения между корнями. Решение второго неравенства — это интервал $x \in (-3; 4)$.

Для решения системы найдем пересечение полученных множеств решений: $\left( (-\infty; 5) \cup (6; \infty) \right) \cap (-3; 4)$.
Нанесем множества на числовую ось. Интервал $(-3; 4)$ полностью содержится в интервале $(-\infty; 5)$. Пересечение с интервалом $(6; \infty)$ пусто.Следовательно, общей частью является интервал $(-3; 4)$.
Решением системы является $x \in (-3; 4)$.
Ответ: $x \in (-3; 4)$.