Номер 156, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

156. Исследуем.

a) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $\frac{(x + 5)(x - 3)}{(x - a)^2} > 0$ состоит из двух интервалов?

из трёх интервалов?

б) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $\frac{(x + 5)(x - 3)}{(x - a)^2} < 0$ состоит из одного интервала? из двух интервалов?

a)

Рассмотрим неравенство $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2} > 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства: $x \neq a$. Поскольку знаменатель $(x-a)^2$ всегда положителен при $x \neq a$, знак всей дроби определяется знаком числителя $(x+5)(x-3)$. Следовательно, исходное неравенство равносильно тому, что $(x+5)(x-3) > 0$ и $x \neq a$.

Решением неравенства $(x+5)(x-3) > 0$ является множество $(-\infty, -5) \cup (3, \infty)$. Это объединение двух интервалов. Итоговое решение — это данное множество, из которого исключена точка $x=a$. Количество интервалов в итоговом решении зависит от положения точки $a$.

Множество решений состоит из двух интервалов, если точка $a$ не принадлежит множеству $(-\infty, -5) \cup (3, \infty)$. Это происходит, когда $a$ находится в промежутке $[-5, 3]$. В этом случае исключение $x=a$ не меняет множество решений, так как точка $a$ либо находится между интервалами, либо совпадает с их границами, которые и так не включены.

Множество решений состоит из трёх интервалов, если точка $a$ принадлежит множеству $(-\infty, -5) \cup (3, \infty)$, то есть при $a < -5$ или $a > 3$. В этом случае точка $a$ разбивает один из интервалов на два, в результате чего общее количество интервалов становится равным трём (например, при $a < -5$ решением будет $(-\infty, a) \cup (a, -5) \cup (3, \infty)$).

Ответ: из двух интервалов при $a \in [-5, 3]$; из трёх интервалов при $a \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2} < 0$. Аналогично пункту а), оно равносильно тому, что $(x+5)(x-3) < 0$ и $x \neq a$.

Решением неравенства $(x+5)(x-3) < 0$ является интервал $(-5, 3)$. Это один интервал. Итоговое решение — это данный интервал, из которого исключена точка $x=a$.

Множество решений состоит из одного интервала, если точка $a$ не принадлежит интервалу $(-5, 3)$, то есть при $a \le -5$ или $a \ge 3$. В этом случае исключение точки $a$ не меняет множество решений, так как она находится вне этого интервала.

Множество решений состоит из двух интервалов, если точка $a$ принадлежит интервалу $(-5, 3)$, то есть при $-5 < a < 3$. В этом случае точка $a$ разбивает исходный интервал на два: $(-5, a) \cup (a, 3)$.

Ответ: из одного интервала при $a \in (-\infty, -5] \cup [3, \infty)$; из двух интервалов при $a \in (-5, 3)$.