Номер 152, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

152. а) $\frac{x}{x-1} < \frac{1}{x}$;

б) $\frac{3}{x} > \frac{5x}{3}$;

в) $\frac{x+1}{x-1} < \frac{3}{x}$;

г) $\frac{2}{x} > \frac{x-2}{3-x}$.

а) $\frac{x}{x-1} < \frac{1}{x}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} < 0$
$\frac{x \cdot x - 1 \cdot (x-1)}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0$

Рассмотрим числитель дроби: $x^2 - x + 1$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 - x + 1$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Так как числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$x(x-1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни выражения $x(x-1)$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; \infty)$.
Определим знак выражения $x(x-1)$ в каждом интервале. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0; 1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства: $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 0$. Найденное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

б) $\frac{3}{x} > \frac{5x}{3}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3}{x} - \frac{5x}{3} > 0$
$\frac{3 \cdot 3 - 5x \cdot x}{3x} > 0$
$\frac{9 - 5x^2}{3x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $9 - 5x^2 = 0 \implies 5x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{9}{5}} = \pm\frac{3}{\sqrt{5}} = \pm\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
Нуль знаменателя: $3x = 0 \implies x = 0$.

Отметим эти точки на числовой оси: $-\frac{3\sqrt{5}}{5}$, $0$, $\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения $\frac{9 - 5x^2}{3x}$ в каждом из них.

• При $x > \frac{3\sqrt{5}}{5}$ (например, $x=2$): $\frac{9 - 5(4)}{3(2)} = \frac{-11}{6} < 0$.
• При $0 < x < \frac{3\sqrt{5}}{5}$ (например, $x=1$): $\frac{9 - 5(1)}{3(1)} = \frac{4}{3} > 0$.
• При $-\frac{3\sqrt{5}}{5} < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{9 - 5(1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$.
• При $x < -\frac{3\sqrt{5}}{5}$ (например, $x=-2$): $\frac{9 - 5(4)}{3(-2)} = \frac{-11}{-6} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.
ОДЗ: $x \neq 0$. Эта точка исключена из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3\sqrt{5}}{5}) \cup (0; \frac{3\sqrt{5}}{5})$.

в) $\frac{x+1}{x-1} < \frac{3}{x}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x+1}{x-1} - \frac{3}{x} < 0$
$\frac{x(x+1) - 3(x-1)}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 + x - 3x + 3}{x(x-1)} < 0$
$\frac{x^2 - 2x + 3}{x(x-1)} < 0$

Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 3$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 2x + 3$ всегда положительно.

Поскольку числитель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство сводится к следующему:
$x(x-1) < 0$

Это неравенство было решено в пункте а). Корнями являются $x=0$ и $x=1$. Парабола $y=x(x-1)$ направлена ветвями вверх и принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 0$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

г) $\frac{2}{x} > \frac{x-2}{3-x}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2}{x} - \frac{x-2}{3-x} > 0$
$\frac{2(3-x) - x(x-2)}{x(3-x)} > 0$
$\frac{6 - 2x - x^2 + 2x}{x(3-x)} > 0$
$\frac{6 - x^2}{x(3-x)} > 0$

Для решения методом интервалов найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $6 - x^2 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.
Нули знаменателя: $x = 0$ и $3-x=0 \implies x=3$.

Отметим точки $-\sqrt{6}$, $0$, $\sqrt{6}$, $3$ на числовой оси (приблизительно $-\text{2.45}$, $0$, $\text{2.45}$, $3$). Они делят ось на пять интервалов. Определим знак выражения $\frac{6 - x^2}{x(3-x)}$ в каждом интервале.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{6-16}{4(3-4)} = \frac{-10}{-4} > 0$.
• При $\sqrt{6} < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{6 - (2.5)^2}{2.5(3-2.5)} = \frac{6 - 6.25}{1.25} < 0$.
• При $0 < x < \sqrt{6}$ (например, $x=1$): $\frac{6-1}{1(3-1)} = \frac{5}{2} > 0$.
• При $-\sqrt{6} < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{6-1}{-1(3-(-1))} = \frac{5}{-4} < 0$.
• При $x < -\sqrt{6}$ (например, $x=-3$): $\frac{6-9}{-3(3-(-3))} = \frac{-3}{-18} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение положительно.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Эти точки исключены из решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (0; \sqrt{6}) \cup (3; \infty)$.