Номер 145, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

145. а) $\frac{2x+3}{x-4} < 0$;

б) $\frac{7+x}{4x-3} > 0$;

в) $\frac{12x-6}{5x-4} > 0$;

г) $\frac{7x-1}{2x+5} < 0$.

а) Решим неравенство $\frac{2x+3}{x-4} < 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x+3=0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x-4=0 \implies x = 4$.

2. Отмечаем точки $x=-1.5$ и $x=4$ на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки выколотые (не включаются в решение). Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 4)$ и $(4; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале, подставляя в нее произвольное значение из этого интервала.
- На интервале $(4; +\infty)$, возьмем $x=5$: $\frac{2(5)+3}{5-4} = \frac{13}{1} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(-1.5; 4)$, возьмем $x=0$: $\frac{2(0)+3}{0-4} = -\frac{3}{4} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; -1.5)$, возьмем $x=-2$: $\frac{2(-2)+3}{-2-4} = \frac{-1}{-6} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($<0$), искомым решением является интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-1.5; 4)$.

б) Решим неравенство $\frac{7+x}{4x-3} > 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $7+x=0 \implies x = -7$.
Нуль знаменателя: $4x-3=0 \implies 4x=3 \implies x = \frac{3}{4}$.

2. Отмечаем выколотые точки $x=-7$ и $x=\frac{3}{4}$ на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; \frac{3}{4})$ и $(\frac{3}{4}; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале.
- На интервале $(\frac{3}{4}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{7+1}{4(1)-3} = \frac{8}{1} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(-7; \frac{3}{4})$, возьмем $x=0$: $\frac{7+0}{4(0)-3} = -\frac{7}{3} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; -7)$, возьмем $x=-8$: $\frac{7-8}{4(-8)-3} = \frac{-1}{-35} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($>0$), решением является объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{12x-6}{5x-4} > 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $12x-6=0 \implies 12x=6 \implies x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Нуль знаменателя: $5x-4=0 \implies 5x=4 \implies x = \frac{4}{5}$.

2. Отмечаем выколотые точки $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{4}{5}$ на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; \frac{4}{5})$ и $(\frac{4}{5}; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале.
- На интервале $(\frac{4}{5}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{12(1)-6}{5(1)-4} = \frac{6}{1} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(\frac{1}{2}; \frac{4}{5})$, возьмем $x=0.6$: $\frac{12(0.6)-6}{5(0.6)-4} = \frac{7.2-6}{3-4} = \frac{1.2}{-1} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; \frac{1}{2})$, возьмем $x=0$: $\frac{12(0)-6}{5(0)-4} = \frac{-6}{-4} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($>0$), решением является объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{7x-1}{2x+5} < 0$ методом интервалов.

1. Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $7x-1=0 \implies 7x=1 \implies x = \frac{1}{7}$.
Нуль знаменателя: $2x+5=0 \implies 2x=-5 \implies x = -\frac{5}{2}$.

2. Отмечаем выколотые точки $x=-\frac{5}{2}$ и $x=\frac{1}{7}$ на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty; -\frac{5}{2})$, $(-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$ и $(\frac{1}{7}; +\infty)$.

3. Определяем знак дроби на каждом интервале.
- На интервале $(\frac{1}{7}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{7(1)-1}{2(1)+5} = \frac{6}{7} > 0$. Знак "+".
- На интервале $(-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$, возьмем $x=0$: $\frac{7(0)-1}{2(0)+5} = -\frac{1}{5} < 0$. Знак "−".
- На интервале $(-\infty; -\frac{5}{2})$, возьмем $x=-3$: $\frac{7(-3)-1}{2(-3)+5} = \frac{-22}{-1} > 0$. Знак "+".

4. Согласно знаку неравенства ($<0$), искомым решением является интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; \frac{1}{7})$.