Номер 142, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (142—155):

142. a) $\frac{5}{x} > 0$; б) $-\frac{3}{x} < 0$; в) $\frac{1}{x-1} < 0$; г) $\frac{1}{2x+1} > 0$.

а) Решим неравенство $\frac{5}{x} > 0$.

Дробь является положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 5, что является положительным числом ($5 > 0$). Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель $x$ также должен быть положительным. При этом, область допустимых значений ($x \neq 0$) уже учтена в этом условии.

Получаем простое неравенство: $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) Решим неравенство $-\frac{3}{x} < 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{3}{x} > 0$

Теперь, как и в предыдущем пункте, мы имеем дробь, которая должна быть положительной. Числитель 3 — положительное число. Значит, и знаменатель $x$ должен быть положительным.

Получаем условие: $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{1}{x-1} < 0$.

Дробь является отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель $x-1$ должен быть отрицательным. Область допустимых значений ($x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$) будет автоматически удовлетворена решением.

Составим и решим неравенство для знаменателя:

$x - 1 < 0$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

г) Решим неравенство $\frac{1}{2x+1} > 0$.

Дробь является положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, знаменатель $2x+1$ также должен быть положительным.

Составим и решим неравенство для знаменателя:

$2x + 1 > 0$

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, +\infty)$.