Номер 135, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

135. a) $(x^2+x)(5x-5)<0;$

б) $(3x+12)(2x+10)(x^2-2x)>0;$

в) $(6x^2-12x)(x+4)<0;$

г) $(2x^2-16x)(4x+4)(7x-21)>0.$

а) Преобразуем неравенство, разложив каждый множитель на более простые:

$x^2+x = x(x+1)$

$5x-5 = 5(x-1)$

Неравенство принимает вид: $x(x+1) \cdot 5(x-1) < 0$.

Разделим обе части на положительное число $5$, знак неравенства при этом не изменится:

$x(x+1)(x-1) < 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x+1)(x-1)$ в каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > 1$) все множители положительны, значит, и произведение положительно. Поскольку все корни имеют нечетную кратность ($1$), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки справа налево: +, –, +, –.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак «–».

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

б) Преобразуем неравенство $(3x+12)(2x+10)(x^2-2x) > 0$, разложив каждый множитель:

$3x+12 = 3(x+4)$

$2x+10 = 2(x+5)$

$x^2-2x = x(x-2)$

Неравенство принимает вид: $3(x+4) \cdot 2(x+5) \cdot x(x-2) > 0$, что эквивалентно $6x(x-2)(x+4)(x+5) > 0$.

Разделим обе части на $6$: $x(x-2)(x+4)(x+5) > 0$.

Найдем корни левой части в порядке возрастания: $x_1 = -5$, $x_2 = -4$, $x_3 = 0$, $x_4 = 2$.

Отметим корни на числовой прямой. Они разбивают ее на пять интервалов. Определим знаки выражения на интервалах. При $x > 2$ все множители положительны, произведение положительно. Все корни имеют нечетную кратность ($1$), поэтому знаки чередуются. Справа налево: +, –, +, –, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-4; 0) \cup (2; +\infty)$.

в) Преобразуем неравенство $(6x^2-12x)(x+4) < 0$, разложив первый множитель:

$6x^2-12x = 6x(x-2)$

Неравенство принимает вид: $6x(x-2)(x+4) < 0$.

Разделим обе части на $6$: $x(x-2)(x+4) < 0$.

Найдем корни левой части в порядке возрастания: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах. При $x > 2$ выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются. Справа налево: +, –, +, –.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак «–».

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; 2)$.

г) Преобразуем неравенство $(2x^2-16x)(4x+4)(7x-21) > 0$, разложив каждый множитель:

$2x^2-16x = 2x(x-8)$

$4x+4 = 4(x+1)$

$7x-21 = 7(x-3)$

Неравенство принимает вид: $2x(x-8) \cdot 4(x+1) \cdot 7(x-3) > 0$, что эквивалентно $56x(x-8)(x+1)(x-3) > 0$.

Разделим обе части на $56$: $x(x+1)(x-3)(x-8) > 0$.

Найдем корни левой части в порядке возрастания: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$, $x_4 = 8$.

Отметим корни на числовой прямой. Они разбивают ее на пять интервалов. Определим знаки выражения на интервалах. При $x > 8$ все множители положительны, произведение положительно. Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются. Справа налево: +, –, +, –, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 3) \cup (8; +\infty)$.