Страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

126. Если число $x$ расположено на координатной оси левее числа 5, верно ли, что:

а) $x - 5 < 0$

б) $x - 5 > 0$

Условие, что число x расположено на координатной оси левее числа 5, означает, что число x строго меньше числа 5. Математически это записывается в виде неравенства: $x < 5$.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных утверждений, основываясь на этом неравенстве.

а) $x - 5 < 0$
Чтобы проверить это утверждение, преобразуем исходное неравенство $x < 5$. Вычтем из обеих частей неравенства число 5. Согласно свойствам неравенств, при вычитании одного и того же числа из обеих частей знак неравенства не меняется.
$x - 5 < 5 - 5$
$x - 5 < 0$
Полученное неравенство полностью совпадает с утверждением в этом пункте. Следовательно, оно верно.
Ответ: да, верно.

б) $x - 5 > 0$
Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, из условия $x < 5$ следует, что разность $x - 5$ является отрицательным числом, то есть $x - 5 < 0$.
Утверждение $x - 5 > 0$ означает, что разность является положительным числом. Это прямо противоречит тому, что мы установили. Следовательно, это утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.

127. Если число $x$ расположено на координатной оси правее числа $-2$, верно ли, что:

а) $x - (-2) < 0$;

б) $x + 2 > 0$?

По условию задачи, число x расположено на координатной оси правее числа -2. Это означает, что x больше, чем -2. Запишем это в виде неравенства: $x > -2$.
Теперь проверим верность утверждений.

а) Верно ли, что $x - (-2) < 0$?
Сначала упростим выражение в левой части неравенства. Раскрытие скобок дает: $x - (-2) = x + 2$.
Таким образом, нам нужно проверить, верно ли неравенство $x + 2 < 0$.
Мы знаем из условия, что $x > -2$. Чтобы получить выражение $x + 2$, прибавим к обеим частям этого неравенства число 2. Знак неравенства при этом не изменится.
$x + 2 > -2 + 2$
$x + 2 > 0$
Мы получили, что выражение $x + 2$ всегда больше нуля. Утверждение $x + 2 < 0$ противоречит этому. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет, не верно.

б) Верно ли, что $x + 2 > 0$?
Как мы показали при решении пункта а), из исходного условия $x > -2$ напрямую следует неравенство:
$x + 2 > 0$
Это полностью совпадает с утверждением, которое нам нужно проверить. Следовательно, это утверждение верно.
Ответ: да, верно.

128. 1) Если число $x$ расположено на координатной оси левее числа 4, верно ли, что: а) $x - 5 < 0$; б) $x - 12 > 0$?

2) Если число $x$ расположено на координатной оси правее числа 10, верно ли, что: а) $x - 1 < 0$; б) $x - 9 > 0$?

1)

Условие "число $x$ расположено на координатной оси левее числа 4" можно записать в виде неравенства: $x < 4$.

а) Проверим, верно ли утверждение $x - 5 < 0$.

Преобразуем данное неравенство, прибавив 5 к обеим частям:

$x - 5 + 5 < 0 + 5$

$x < 5$

Нам нужно определить, следует ли из условия $x < 4$ то, что $x < 5$. Да, любое число, которое меньше 4, заведомо будет меньше 5. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) Проверим, верно ли утверждение $x - 12 > 0$.

Преобразуем данное неравенство, прибавив 12 к обеим частям:

$x - 12 + 12 > 0 + 12$

$x > 12$

Нам нужно определить, следует ли из условия $x < 4$ то, что $x > 12$. Это невозможно, так как число не может быть одновременно меньше 4 и больше 12. Например, если взять $x=3$, то условие $3 < 4$ выполняется, но неравенство $3 > 12$ ложно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.

2)

Условие "число $x$ расположено на координатной оси правее числа 10" можно записать в виде неравенства: $x > 10$.

а) Проверим, верно ли утверждение $x - 1 < 0$.

Преобразуем данное неравенство, прибавив 1 к обеим частям:

$x - 1 + 1 < 0 + 1$

$x < 1$

Нам нужно определить, следует ли из условия $x > 10$ то, что $x < 1$. Это невозможно, так как число не может быть одновременно больше 10 и меньше 1. Например, если взять $x=11$, то условие $11 > 10$ выполняется, но неравенство $11 < 1$ ложно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.

б) Проверим, верно ли утверждение $x - 9 > 0$.

Преобразуем данное неравенство, прибавив 9 к обеим частям:

$x - 9 + 9 > 0 + 9$

$x > 9$

Нам нужно определить, следует ли из условия $x > 10$ то, что $x > 9$. Да, любое число, которое больше 10, заведомо будет больше 9. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

129. a) Если число $x$ расположено между числами 1 и 3, то какой знак имеет каждый из двучленов $x - 1$ и $x - 3$?

б) Если число $x$ расположено между числами -3 и -1, то какой знак имеет каждый из двучленов $x + 3$ и $x + 1$?

а)

Условие, что число $x$ расположено между числами 1 и 3, можно записать в виде двойного неравенства: $1 < x < 3$.

Чтобы определить знак двучлена $x - 1$, воспользуемся левой частью неравенства, $1 < x$. Перенесем 1 в правую часть: $0 < x - 1$. Это означает, что выражение $x - 1$ больше нуля, то есть имеет положительный знак (плюс).

Чтобы определить знак двучлена $x - 3$, воспользуемся правой частью неравенства, $x < 3$. Перенесем 3 в левую часть: $x - 3 < 0$. Это означает, что выражение $x - 3$ меньше нуля, то есть имеет отрицательный знак (минус).

Ответ: двучлен $x - 1$ имеет знак «плюс», а двучлен $x - 3$ имеет знак «минус».

б)

Условие, что число $x$ расположено между числами -3 и -1, можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < x < -1$.

Чтобы определить знак двучлена $x + 3$, воспользуемся левой частью неравенства, $-3 < x$. Перенесем -3 в правую часть: $0 < x + 3$. Это означает, что выражение $x + 3$ больше нуля, то есть имеет положительный знак (плюс).

Чтобы определить знак двучлена $x + 1$, воспользуемся правой частью неравенства, $x < -1$. Перенесем -1 в левую часть: $x + 1 < 0$. Это означает, что выражение $x + 1$ меньше нуля, то есть имеет отрицательный знак (минус).

Ответ: двучлен $x + 3$ имеет знак «плюс», а двучлен $x + 1$ имеет знак «минус».

130. Дан двучлен $x - 6$. При каких значениях $x$ этот двучлен принимает:

а) значение, равное нулю;

б) положительные значения;

в) отрицательные значения?

Дан двучлен $x - 6$. Определим, при каких значениях $x$ он принимает требуемые значения.

а) значение, равное нулю;

Чтобы найти значение $x$, при котором двучлен равен нулю, составим и решим уравнение:

$x - 6 = 0$

Для решения уравнения перенесем число $-6$ в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$x = 6$

Проверка: подставим $x=6$ в исходный двучлен: $6 - 6 = 0$. Равенство верно.

Ответ: $x = 6$.

б) положительные значения;

Чтобы найти значения $x$, при которых двучлен принимает положительные значения, составим и решим неравенство:

$x - 6 > 0$

Перенесем число $-6$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$x > 6$

Это означает, что двучлен положителен для всех значений $x$, которые строго больше 6.

Ответ: $x > 6$ (или в виде интервала $x \in (6; +\infty)$).

в) отрицательные значения?

Чтобы найти значения $x$, при которых двучлен принимает отрицательные значения, составим и решим неравенство:

$x - 6 < 0$

Перенесем число $-6$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$x < 6$

Это означает, что двучлен отрицателен для всех значений $x$, которые строго меньше 6.

Ответ: $x < 6$ (или в виде интервала $x \in (-\infty; 6)$).

131. a) Если число $x$ расположено между числами 2 и 5, какой знак имеет каждый из двучленов $x - 2$ и $x - 5$? Какой знак имеет выражение $(x - 2)(x - 5)$?

б) Если число $x$ расположено левее числа $-7$, какой знак имеет каждый из двучленов $x + 7$ и $x - 8$ и выражение $(x + 7)(x - 8)$?

а)

Условие, что число $x$ расположено между числами 2 и 5, можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 5$.

1. Определим знак двучлена $x - 2$.
Поскольку $x > 2$, то при вычитании из $x$ числа 2 получится положительное число. Это следует из свойства неравенств: если перенести 2 в левую часть неравенства $x > 2$, мы получим $x - 2 > 0$.
Таким образом, двучлен $x - 2$ имеет знак плюс (+).

2. Определим знак двучлена $x - 5$.
Поскольку $x < 5$, то при вычитании из $x$ числа 5 получится отрицательное число. Это следует из свойства неравенств: если перенести 5 в левую часть неравенства $x < 5$, мы получим $x - 5 < 0$.
Таким образом, двучлен $x - 5$ имеет знак минус (-).

3. Определим знак выражения $(x - 2)(x - 5)$.
Это выражение является произведением двух множителей, знаки которых мы определили: ($x - 2$) — положительный, а ($x - 5$) — отрицательный. Произведение положительного и отрицательного чисел всегда является отрицательным числом.
Следовательно, выражение $(x - 2)(x - 5)$ имеет знак минус (-).

Ответ: двучлен $x - 2$ имеет знак плюс, двучлен $x - 5$ имеет знак минус, выражение $(x - 2)(x - 5)$ имеет знак минус.

б)

Условие, что число $x$ расположено левее числа -7, можно записать в виде неравенства: $x < -7$.

1. Определим знак двучлена $x + 7$.
Поскольку $x < -7$, то при прибавлении к $x$ числа 7 получится отрицательное число. Это следует из свойства неравенств: если перенести -7 в левую часть неравенства $x < -7$, мы получим $x + 7 < 0$.
Таким образом, двучлен $x + 7$ имеет знак минус (-).

2. Определим знак двучлена $x - 8$.
Поскольку $x < -7$, то $x$ является отрицательным числом. При вычитании из отрицательного числа положительного числа 8, результат будет еще более отрицательным. Например, если $x = -10$, то $x - 8 = -10 - 8 = -18 < 0$. Формально, так как $x < -7$, то $x - 8 < -7 - 8$, что означает $x - 8 < -15$.
Таким образом, двучлен $x - 8$ имеет знак минус (-).

3. Определим знак выражения $(x + 7)(x - 8)$.
Это выражение является произведением двух множителей, знаки которых мы определили: ($x + 7$) — отрицательный, и ($x - 8$) — отрицательный. Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.
Следовательно, выражение $(x + 7)(x - 8)$ имеет знак плюс (+).

Ответ: двучлен $x + 7$ имеет знак минус, двучлен $x - 8$ имеет знак минус, выражение $(x + 7)(x - 8)$ имеет знак плюс.

132. На координатной оси отмечены числа 1, 2 и 3. Определите знаки каждого двучлена $x-1$, $x-2$, $x-3$ и знак выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Для определения знаков двучленов $x-1$, $x-2$, $x-3$ и всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ воспользуемся методом интервалов. Корни выражения, то есть значения $x$, при которых оно равно нулю, это $x=1$, $x=2$ и $x=3$. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Рассмотрим знак каждого множителя и итогового произведения в каждом из них.

$(-\infty; 1)$
На этом интервале значение переменной $x < 1$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x < 1$, то $x-1 < 0$ (минус).
Знак двучлена $x-2$: так как $x < 1$, а значит и $x < 2$, то $x-2 < 0$ (минус).
Знак двучлена $x-3$: так как $x < 1$, а значит и $x < 3$, то $x-3 < 0$ (минус).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: На интервале $(-\infty; 1)$ двучлены $x-1$, $x-2$, $x-3$ отрицательны, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ отрицательно.

$(1; 2)$
На этом интервале значение переменной $1 < x < 2$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x > 1$, то $x-1 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-2$: так как $x < 2$, то $x-2 < 0$ (минус).
Знак двучлена $x-3$: так как $x < 2$, а значит и $x < 3$, то $x-3 < 0$ (минус).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.
Ответ: На интервале $(1; 2)$ двучлен $x-1$ положителен, двучлены $x-2$ и $x-3$ отрицательны, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ положительно.

$(2; 3)$
На этом интервале значение переменной $2 < x < 3$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x > 2$, а значит и $x > 1$, то $x-1 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-2$: так как $x > 2$, то $x-2 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-3$: так как $x < 3$, то $x-3 < 0$ (минус).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: На интервале $(2; 3)$ двучлены $x-1$ и $x-2$ положительны, двучлен $x-3$ отрицателен, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ отрицательно.

$(3; +\infty)$
На этом интервале значение переменной $x > 3$.
Знак двучлена $x-1$: так как $x > 3$, а значит и $x > 1$, то $x-1 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-2$: так как $x > 3$, а значит и $x > 2$, то $x-2 > 0$ (плюс).
Знак двучлена $x-3$: так как $x > 3$, то $x-3 > 0$ (плюс).
Знак всего выражения $(x-1)(x-2)(x-3)$ определяется произведением знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: На интервале $(3; +\infty)$ все двучлены $x-1$, $x-2$, $x-3$ положительны, а выражение $(x-1)(x-2)(x-3)$ положительно.

133. a) Найдите все такие $x$, для каждого из которых выражение $(x-1)(x-3)(x-4)$ принимает значение, равное нулю.

б) Определите интервалы, на которых выражение $(x-1) \times (x-3)(x-4)$ принимает положительные значения; отрицательные значения.

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 4)$ равно нулю, нужно приравнять к нулю каждый множитель и решить полученные уравнения.
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$
3) $x - 4 = 0 \implies x_3 = 4$
Следовательно, выражение равно нулю при трех значениях $x$.
Ответ: $x = 1, x = 3, x = 4$.

б) Для определения интервалов, на которых выражение принимает положительные или отрицательные значения, используем метод интервалов. Корни выражения, найденные в пункте а), это $x=1, x=3, x=4$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из этих интервалов, подставив любое значение из интервала.

1. Интервал $(-\infty; 1)$. Возьмем точку $x=0$.
$(0 - 1)(0 - 3)(0 - 4) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24$.
Значение отрицательное (-).

2. Интервал $(1; 3)$. Возьмем точку $x=2$.
$(2 - 1)(2 - 3)(2 - 4) = (1) \cdot (-1) \cdot (-2) = 2$.
Значение положительное (+).

3. Интервал $(3; 4)$. Возьмем точку $x=3.5$.
$(3.5 - 1)(3.5 - 3)(3.5 - 4) = (2.5) \cdot (0.5) \cdot (-0.5) = -0.625$.
Значение отрицательное (-).

4. Интервал $(4; +\infty)$. Возьмем точку $x=5$.
$(5 - 1)(5 - 3)(5 - 4) = (4) \cdot (2) \cdot (1) = 8$.
Значение положительное (+).

Таким образом, мы определили знаки выражения на каждом интервале.
Выражение принимает положительные значения ($>0$) на интервалах $(1; 3)$ и $(4; +\infty)$.
Выражение принимает отрицательные значения ($<0$) на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; 4)$.
Ответ: выражение принимает положительные значения при $x \in (1; 3) \cup (4; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; 4)$.

Решите неравенство методом интервалов (134–140):

134. а) $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0;$

б) $(x - 1)(x - 2)(x - 4) < 0;$

в) $(x + 1)(x - 1)(x - 2) > 0;$

г) $(x + 2)(x + 1)(x - 3) < 0.$

а) Решим неравенство $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$. Для этого приравняем левую часть к нулю:
$(x - 1)(x - 3)(x - 5) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.
3. Определим знак выражения $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ в каждом интервале.
- В интервале $(5; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=6$. Получим $(6-1)(6-3)(6-5) = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(3; 5)$ возьмем пробную точку $x=4$. Получим $(4-1)(4-3)(4-5) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3 < 0$. Знак "-".
- В интервале $(1; 3)$ возьмем пробную точку $x=2$. Получим $(2-1)(2-3)(2-5) = 1 \cdot (-1) \cdot (-3) = 3 > 0$. Знак "+".
- В интервале $(-\infty; 1)$ возьмем пробную точку $x=0$. Получим $(0-1)(0-3)(0-5) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-5) = -15 < 0$. Знак "-".
4. Поскольку нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше нуля, выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(1; 3)$ и $(5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (1; 3) \cup (5; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 1)(x - 2)(x - 4) < 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$.
$(x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 4$.
2. Отметим выколотые точки $1, 2, 4$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определим знаки выражения в каждом интервале. Так как все множители имеют первую степень, знаки будут чередоваться. В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ при $x=5$ имеем $(5-1)(5-2)(5-4) > 0$, значит знак "+".
Двигаясь справа налево, знаки чередуются:
- $(4; +\infty)$: +
- $(2; 4)$: -
- $(1; 2)$: +
- $(-\infty; 1)$: -
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Выбираем интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; 1)$ и $(2; 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 4)$.

в) Решим неравенство $(x + 1)(x - 1)(x - 2) > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)$.
$(x + 1)(x - 1)(x - 2) = 0$
Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.
2. Отметим выколотые точки $-1, 1, 2$ на числовой прямой. Они образуют интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(2; +\infty)$ при $x=3$ выражение $(3+1)(3-1)(3-2)$ положительно. Знаки чередуются:
- $(2; +\infty)$: +
- $(1; 2)$: -
- $(-1; 1)$: +
- $(-\infty; -1)$: -
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля. Выбираем интервалы со знаком "+".
Это интервалы $(-1; 1)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (2; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(x + 2)(x + 1)(x - 3) < 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 2)(x + 1)(x - 3)$.
$(x + 2)(x + 1)(x - 3) = 0$
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 3$.
2. Отметим выколотые точки $-2, -1, 3$ на числовой прямой. Получаем интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ при $x=4$ выражение $(4+2)(4+1)(4-3)$ положительно. Знаки чередуются:
- $(3; +\infty)$: +
- $(-1; 3)$: -
- $(-2; -1)$: +
- $(-\infty; -2)$: -
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Выбираем интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(-1; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 3)$.

135. a) $(x^2+x)(5x-5)<0;$

б) $(3x+12)(2x+10)(x^2-2x)>0;$

в) $(6x^2-12x)(x+4)<0;$

г) $(2x^2-16x)(4x+4)(7x-21)>0.$

а) Преобразуем неравенство, разложив каждый множитель на более простые:

$x^2+x = x(x+1)$

$5x-5 = 5(x-1)$

Неравенство принимает вид: $x(x+1) \cdot 5(x-1) < 0$.

Разделим обе части на положительное число $5$, знак неравенства при этом не изменится:

$x(x+1)(x-1) < 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x+1)(x-1)$ в каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > 1$) все множители положительны, значит, и произведение положительно. Поскольку все корни имеют нечетную кратность ($1$), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки справа налево: +, –, +, –.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак «–».

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$.

б) Преобразуем неравенство $(3x+12)(2x+10)(x^2-2x) > 0$, разложив каждый множитель:

$3x+12 = 3(x+4)$

$2x+10 = 2(x+5)$

$x^2-2x = x(x-2)$

Неравенство принимает вид: $3(x+4) \cdot 2(x+5) \cdot x(x-2) > 0$, что эквивалентно $6x(x-2)(x+4)(x+5) > 0$.

Разделим обе части на $6$: $x(x-2)(x+4)(x+5) > 0$.

Найдем корни левой части в порядке возрастания: $x_1 = -5$, $x_2 = -4$, $x_3 = 0$, $x_4 = 2$.

Отметим корни на числовой прямой. Они разбивают ее на пять интервалов. Определим знаки выражения на интервалах. При $x > 2$ все множители положительны, произведение положительно. Все корни имеют нечетную кратность ($1$), поэтому знаки чередуются. Справа налево: +, –, +, –, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-4; 0) \cup (2; +\infty)$.

в) Преобразуем неравенство $(6x^2-12x)(x+4) < 0$, разложив первый множитель:

$6x^2-12x = 6x(x-2)$

Неравенство принимает вид: $6x(x-2)(x+4) < 0$.

Разделим обе части на $6$: $x(x-2)(x+4) < 0$.

Найдем корни левой части в порядке возрастания: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах. При $x > 2$ выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются. Справа налево: +, –, +, –.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак «–».

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; 2)$.

г) Преобразуем неравенство $(2x^2-16x)(4x+4)(7x-21) > 0$, разложив каждый множитель:

$2x^2-16x = 2x(x-8)$

$4x+4 = 4(x+1)$

$7x-21 = 7(x-3)$

Неравенство принимает вид: $2x(x-8) \cdot 4(x+1) \cdot 7(x-3) > 0$, что эквивалентно $56x(x-8)(x+1)(x-3) > 0$.

Разделим обе части на $56$: $x(x+1)(x-3)(x-8) > 0$.

Найдем корни левой части в порядке возрастания: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$, $x_4 = 8$.

Отметим корни на числовой прямой. Они разбивают ее на пять интервалов. Определим знаки выражения на интервалах. При $x > 8$ все множители положительны, произведение положительно. Все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются. Справа налево: +, –, +, –, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 3) \cup (8; +\infty)$.

136. а) $(2 - x)(x + 3)(x - 7) < 0;$

б) $(5 - x)(x - 3)(x + 12) > 0;$

в) $(3x - 4)(1 - x)(2x + 1) > 0;$

г) $(2x - 5)(7x + 3)(x + 8) < 0;$

д) $(5x - 6)(6x - 5)(1 - x)(3x + 1) > 0;$

е) $(10x - 1)(x + 2)(7x - 4)(7x + 5) < 0.$

а) $(2 - x)(x + 3)(x - 7) < 0$

Для решения неравенства методом интервалов приведем его к стандартному виду, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем $-1$ из скобки $(2 - x)$:

$-(x - 2)(x + 3)(x - 7) < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 2)(x + 3)(x - 7) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 3)(x - 7) = 0$. Корнями являются $x_1 = 2$, $x_2 = -3$, $x_3 = 7$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(7; +\infty)$ все множители положительны, поэтому знак выражения — плюс. Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах будут чередоваться.

Получаем следующую расстановку знаков: $(-\infty; -3) \rightarrow (-)$, $(-3; 2) \rightarrow (+)$, $(2; 7) \rightarrow (-)$, $(7; +\infty) \rightarrow (+)$.

Поскольку мы решаем неравенство $(x - 2)(x + 3)(x - 7) > 0$, нам нужны интервалы со знаком плюс.

Ответ: $x \in (-3; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) $(5 - x)(x - 3)(x + 12) > 0$

Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из первой скобки:

$-(x - 5)(x - 3)(x + 12) > 0$

Умножим на $-1$, изменив знак неравенства:

$(x - 5)(x - 3)(x + 12) < 0$

Найдем нули левой части: $x_1 = 5$, $x_2 = 3$, $x_3 = -12$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-12$, $3$, $5$. Они образуют интервалы $(-\infty; -12)$, $(-12; 3)$, $(3; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах. На интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-\infty; -12) \rightarrow (-)$, $(-12; 3) \rightarrow (+)$, $(3; 5) \rightarrow (-)$, $(5; +\infty) \rightarrow (+)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -12) \cup (3; 5)$.

в) $(3x - 4)(1 - x)(2x + 1) > 0$

Приведем неравенство к стандартному виду, вынеся $-1$ из скобки $(1 - x)$:

$-(3x - 4)(x - 1)(2x + 1) > 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$(3x - 4)(x - 1)(2x + 1) < 0$

Найдем корни уравнения $(3x - 4)(x - 1)(2x + 1) = 0$:

$3x - 4 = 0 \implies x_1 = \frac{4}{3}$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$2x + 1 = 0 \implies x_3 = -\frac{1}{2}$

Отметим на числовой оси точки $-\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{4}{3}$. Интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}; 1)$, $(1; \frac{4}{3})$, $(\frac{4}{3}; +\infty)$.

Знаки на интервалах, начиная с крайнего правого: +, -, +, -. Расстановка знаков: $(-\infty; -\frac{1}{2}) \rightarrow (-)$, $(-\frac{1}{2}; 1) \rightarrow (+)$, $(1; \frac{4}{3}) \rightarrow (-)$, $(\frac{4}{3}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Мы ищем решения для неравенства со знаком "меньше".

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; \frac{4}{3})$.

г) $(2x - 5)(7x + 3)(x + 8) < 0$

Данное неравенство уже представлено в стандартном виде. Решим его методом интервалов.

Найдем нули левой части:

$2x - 5 = 0 \implies x_1 = \frac{5}{2}$

$7x + 3 = 0 \implies x_2 = -\frac{3}{7}$

$x + 8 = 0 \implies x_3 = -8$

Отметим на числовой оси точки $-8$, $-\frac{3}{7}$, $\frac{5}{2}$. Интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; -\frac{3}{7})$, $(-\frac{3}{7}; \frac{5}{2})$, $(\frac{5}{2}; +\infty)$.

Расстановка знаков, начиная с крайнего правого: +, -, +, -. Таким образом: $(-\infty; -8) \rightarrow (-)$, $(-8; -\frac{3}{7}) \rightarrow (+)$, $(-\frac{3}{7}; \frac{5}{2}) \rightarrow (-)$, $(\frac{5}{2}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Неравенство имеет знак "меньше", поэтому выбираем интервалы со знаком минус.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-\frac{3}{7}; \frac{5}{2})$.

д) $(5x - 6)(6x - 5)(1 - x)(3x + 1) > 0$

Преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из скобки $(1 - x)$:

$-(5x - 6)(6x - 5)(x - 1)(3x + 1) > 0$

Домножим на $-1$ и сменим знак:

$(5x - 6)(6x - 5)(x - 1)(3x + 1) < 0$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{6}{5}$, $x_2 = \frac{5}{6}$, $x_3 = 1$, $x_4 = -\frac{1}{3}$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-\frac{1}{3}$, $\frac{5}{6}$, $1$, $\frac{6}{5}$. Они образуют пять интервалов.

Расстановка знаков на интервалах, начиная с крайнего правого: +, -, +, -, +. Схема: $(-\infty; -\frac{1}{3}) \rightarrow (+)$, $(-\frac{1}{3}; \frac{5}{6}) \rightarrow (-)$, $(\frac{5}{6}; 1) \rightarrow (+)$, $(1; \frac{6}{5}) \rightarrow (-)$, $(\frac{6}{5}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком минус.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{5}{6}) \cup (1; \frac{6}{5})$.

е) $(10x - 1)(x + 2)(7x - 4)(7x + 5) < 0$

Неравенство уже в стандартном виде. Найдем его корни:

$10x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{10}$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

$7x - 4 = 0 \implies x_3 = \frac{4}{7}$

$7x + 5 = 0 \implies x_4 = -\frac{5}{7}$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-2$, $-\frac{5}{7}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{4}{7}$.

Определяем знаки на получившихся интервалах. Справа налево знаки чередуются: +, -, +, -, +. Схема: $(-\infty; -2) \rightarrow (+)$, $(-2; -\frac{5}{7}) \rightarrow (-)$, $(-\frac{5}{7}; \frac{1}{10}) \rightarrow (+)$, $(\frac{1}{10}; \frac{4}{7}) \rightarrow (-)$, $(\frac{4}{7}; +\infty) \rightarrow (+)$.

Так как знак неравенства "меньше", выбираем интервалы со знаком минус.

Ответ: $x \in (-2; -\frac{5}{7}) \cup (\frac{1}{10}; \frac{4}{7})$.

137. а) $(x - 3)(x^2 - 3x + 2) > 0;$

б) $(2 - x)(x^2 - x - 12) < 0;$

в) $(x^2 - 3x - 4)(x^2 + x - 12) < 0;$

г) $(x^2 - 5x - 6)(x^2 + 2x - 15) > 0.$

а)

Решим неравенство $(x-3)(x^2-3x+2) > 0$.

Для начала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2-3x+2$. Для этого найдем его корни, решив уравнение $x^2-3x+2=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Таким образом, $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.

Подставим разложение в исходное неравенство: $(x-3)(x-1)(x-2) > 0$.

Запишем множители в порядке возрастания корней: $(x-1)(x-2)(x-3) > 0$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой оси корни $x=1$, $x=2$ и $x=3$. Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Так как все множители в первой степени, знаки будут чередоваться. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=4$ получаем $(+)(+)(+)>0$).

Двигаясь справа налево, знаки будут чередоваться: $+, -, +, -$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(2-x)(x^2-x-12) < 0$.

Вынесем $-1$ из первой скобки: $-(x-2)(x^2-x-12) < 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $(x-2)(x^2-x-12) > 0$.

Разложим на множители $x^2-x-12$. Корни уравнения $x^2-x-12=0$ по теореме Виета: $x_1=4$ и $x_2=-3$.

Следовательно, $x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x-4)(x+3) > 0$.

Упорядочим множители: $(x+3)(x-2)(x-4) > 0$.

Применим метод интервалов. Корни: $x=-3$, $x=2$, $x=4$. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $+, -, +, -$.

Нам нужны интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-3; 2) \cup (4; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $(x^2-3x-4)(x^2+x-12) < 0$.

Разложим на множители оба квадратных трехчлена.

1) $x^2-3x-4=0$. По теореме Виета, корни $x_1=4$ и $x_2=-1$. Значит, $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$.

2) $x^2+x-12=0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-4$. Значит, $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$.

Неравенство принимает вид: $(x-4)(x+1)(x-3)(x+4) < 0$.

Упорядочим множители: $(x+4)(x+1)(x-3)(x-4) < 0$.

Применим метод интервалов. Корни: $x=-4$, $x=-1$, $x=3$, $x=4$.

В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $+, -, +, -, +$.

Нам нужны интервалы со знаком "−".

Ответ: $x \in (-4; -1) \cup (3; 4)$.

г)

Решим неравенство $(x^2-5x-6)(x^2+2x-15) > 0$.

Разложим на множители оба квадратных трехчлена.

1) $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=6$ и $x_2=-1$. Значит, $x^2-5x-6 = (x-6)(x+1)$.

2) $x^2+2x-15=0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-5$. Значит, $x^2+2x-15 = (x-3)(x+5)$.

Неравенство принимает вид: $(x-6)(x+1)(x-3)(x+5) > 0$.

Упорядочим множители: $(x+5)(x+1)(x-3)(x-6) > 0$.

Применим метод интервалов. Корни: $x=-5$, $x=-1$, $x=3$, $x=6$.

В крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $+, -, +, -, +$.

Нам нужны интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 3) \cup (6; +\infty)$.