Номер 137, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

137. а) $(x - 3)(x^2 - 3x + 2) > 0;$

б) $(2 - x)(x^2 - x - 12) < 0;$

в) $(x^2 - 3x - 4)(x^2 + x - 12) < 0;$

г) $(x^2 - 5x - 6)(x^2 + 2x - 15) > 0.$

а)

Решим неравенство $(x-3)(x^2-3x+2) > 0$.

Для начала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2-3x+2$. Для этого найдем его корни, решив уравнение $x^2-3x+2=0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Таким образом, $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.

Подставим разложение в исходное неравенство: $(x-3)(x-1)(x-2) > 0$.

Запишем множители в порядке возрастания корней: $(x-1)(x-2)(x-3) > 0$.

Применим метод интервалов. Отметим на числовой оси корни $x=1$, $x=2$ и $x=3$. Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Так как все множители в первой степени, знаки будут чередоваться. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=4$ получаем $(+)(+)(+)>0$).

Двигаясь справа налево, знаки будут чередоваться: $+, -, +, -$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(2-x)(x^2-x-12) < 0$.

Вынесем $-1$ из первой скобки: $-(x-2)(x^2-x-12) < 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $(x-2)(x^2-x-12) > 0$.

Разложим на множители $x^2-x-12$. Корни уравнения $x^2-x-12=0$ по теореме Виета: $x_1=4$ и $x_2=-3$.

Следовательно, $x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $(x-2)(x-4)(x+3) > 0$.

Упорядочим множители: $(x+3)(x-2)(x-4) > 0$.

Применим метод интервалов. Корни: $x=-3$, $x=2$, $x=4$. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $+, -, +, -$.

Нам нужны интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-3; 2) \cup (4; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $(x^2-3x-4)(x^2+x-12) < 0$.

Разложим на множители оба квадратных трехчлена.

1) $x^2-3x-4=0$. По теореме Виета, корни $x_1=4$ и $x_2=-1$. Значит, $x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)$.

2) $x^2+x-12=0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-4$. Значит, $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$.

Неравенство принимает вид: $(x-4)(x+1)(x-3)(x+4) < 0$.

Упорядочим множители: $(x+4)(x+1)(x-3)(x-4) < 0$.

Применим метод интервалов. Корни: $x=-4$, $x=-1$, $x=3$, $x=4$.

В крайнем правом интервале $(4; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $+, -, +, -, +$.

Нам нужны интервалы со знаком "−".

Ответ: $x \in (-4; -1) \cup (3; 4)$.

г)

Решим неравенство $(x^2-5x-6)(x^2+2x-15) > 0$.

Разложим на множители оба квадратных трехчлена.

1) $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=6$ и $x_2=-1$. Значит, $x^2-5x-6 = (x-6)(x+1)$.

2) $x^2+2x-15=0$. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-5$. Значит, $x^2+2x-15 = (x-3)(x+5)$.

Неравенство принимает вид: $(x-6)(x+1)(x-3)(x+5) > 0$.

Упорядочим множители: $(x+5)(x+1)(x-3)(x-6) > 0$.

Применим метод интервалов. Корни: $x=-5$, $x=-1$, $x=3$, $x=6$.

В крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: $+, -, +, -, +$.

Нам нужны интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 3) \cup (6; +\infty)$.