Номер 144, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

144. а) $ \frac{x-6}{2-x} > 0 $

б) $ \frac{4-x}{x-9} < 0 $

в) $ \frac{2x+4}{4x+2} < 0 $

г) $ \frac{3x+6}{9x-3} > 0 $

а) $\frac{x-6}{2-x} > 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$.
Нуль знаменателя: $2 - x = 0 \implies x = 2$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 2$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми (не включенными в решение).
Точки $2$ и $6$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 6)$ и $(6, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{x-6}{2-x}$ в каждом интервале, подставляя в него любое значение из этого интервала.
- При $x \in (-\infty, 2)$, возьмем $x=0$: $\frac{0-6}{2-0} = \frac{-6}{2} = -3 < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (2, 6)$, возьмем $x=3$: $\frac{3-6}{2-3} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (6, \infty)$, возьмем $x=7$: $\frac{7-6}{2-7} = \frac{1}{-5} = -0.2 < 0$. Знак "минус".
4. Согласно условию неравенства, нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (положительно). Это интервал $(2, 6)$.

Ответ: $x \in (2, 6)$.

б) $\frac{4-x}{x-9} < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $4 - x = 0 \implies x = 4$.
Нуль знаменателя: $x - 9 = 0 \implies x = 9$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 9$.
2. Отметим точки $4$ и $9$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty, 4)$, $(4, 9)$ и $(9, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{4-x}{x-9}$ в каждом интервале.
- При $x \in (-\infty, 4)$, возьмем $x=0$: $\frac{4-0}{0-9} = \frac{4}{-9} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (4, 9)$, возьмем $x=5$: $\frac{4-5}{5-9} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (9, \infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{4-10}{10-9} = \frac{-6}{1} = -6 < 0$. Знак "минус".
4. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервалы $(-\infty, 4)$ и $(9, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (9, \infty)$.

в) $\frac{2x+4}{4x+2} < 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
Нуль знаменателя: $4x + 2 = 0 \implies 4x = -2 \implies x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -\frac{1}{2}$.
2. Отметим точки $-2$ и $-\frac{1}{2}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, -\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{2x+4}{4x+2}$ в каждом интервале.
- При $x \in (-\infty, -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{2(-3)+4}{4(-3)+2} = \frac{-6+4}{-12+2} = \frac{-2}{-10} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-2, -\frac{1}{2})$, возьмем $x=-1$: $\frac{2(-1)+4}{4(-1)+2} = \frac{-2+4}{-4+2} = \frac{2}{-2} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (-\frac{1}{2}, \infty)$, возьмем $x=0$: $\frac{2(0)+4}{4(0)+2} = \frac{4}{2} > 0$. Знак "плюс".
4. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (отрицательно). Это интервал $(-2, -\frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-2, -\frac{1}{2})$.

г) $\frac{3x+6}{9x-3} > 0$

Решаем неравенство методом интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3x + 6 = 0 \implies 3x = -6 \implies x = -2$.
Нуль знаменателя: $9x - 3 = 0 \implies 9x = 3 \implies x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq \frac{1}{3}$.
2. Отметим точки $-2$ и $\frac{1}{3}$ на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, \infty)$.
3. Определим знак выражения $\frac{3x+6}{9x-3}$ в каждом интервале.
- При $x \in (-\infty, -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{3(-3)+6}{9(-3)-3} = \frac{-9+6}{-27-3} = \frac{-3}{-30} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-2, \frac{1}{3})$, возьмем $x=0$: $\frac{3(0)+6}{9(0)-3} = \frac{6}{-3} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (\frac{1}{3}, \infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{3(1)+6}{9(1)-3} = \frac{9}{6} > 0$. Знак "плюс".
4. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (положительно). Это интервалы $(-\infty, -2)$ и $(\frac{1}{3}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$.