Номер 140, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

140. Исследуем.

а) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 > 0$ состоит из двух интервалов? из трёх интервалов?

б) При каких значениях $a$ множество решений неравенства $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 < 0$ состоит из одного интервала? из двух интервалов?

а)

Рассмотрим неравенство $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 > 0$.

Множитель $(x - a)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = a$ и положителен при $x \neq a$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), то $x=a$ не может быть решением. Также левая часть не может быть равна нулю. Следовательно, мы можем разделить неравенство на две системы условий:

1. $(x - 3)(x - 5) > 0$

2. $x \neq a$

Решением неравенства $(x - 3)(x - 5) > 0$ является объединение двух интервалов: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$. Назовем это множество $S$.

Теперь нужно из множества $S$ исключить точку $x=a$. Количество итоговых интервалов зависит от того, где находится точка $a$.

Множество решений состоит из двух интервалов:

Это произойдет, если точка $a$ не принадлежит множеству $S$. То есть, исключение точки $a$ не разделит ни один из интервалов $(-\infty, 3)$ или $(5, +\infty)$. Это возможно, если $a$ находится в промежутке между этими интервалами, включая концы, так как они не входят в $S$.

Таким образом, $a$ должно удовлетворять условию $3 \le a \le 5$. В этом случае множество решений останется $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$, что является двумя интервалами.

Множество решений состоит из трёх интервалов:

Это произойдет, если точка $a$ принадлежит множеству $S$. Исключение точки $a$ из $S$ разделит один из интервалов на два.

• Если $a \in (-\infty, 3)$, то интервал $(-\infty, 3)$ разбивается на два: $(-\infty, a) \cup (a, 3)$. Общее решение: $(-\infty, a) \cup (a, 3) \cup (5, +\infty)$ — три интервала.
• Если $a \in (5, +\infty)$, то интервал $(5, +\infty)$ разбивается на два: $(5, a) \cup (a, +\infty)$. Общее решение: $(-\infty, 3) \cup (5, a) \cup (a, +\infty)$ — три интервала.

Следовательно, множество решений состоит из трёх интервалов при $a < 3$ или $a > 5$.

Ответ: множество решений состоит из двух интервалов при $a \in [3, 5]$; из трёх интервалов при $a \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x - 3)(x - 5)(x - a)^2 < 0$.

Аналогично пункту а), множитель $(x - a)^2$ должен быть строго положительным (так как неравенство строгое), что означает $x \neq a$. При этом условии знак всего выражения определяется знаком произведения $(x - 3)(x - 5)$.

Таким образом, решение исходного неравенства эквивалентно системе:

1. $(x - 3)(x - 5) < 0$

2. $x \neq a$

Решением неравенства $(x - 3)(x - 5) < 0$ является интервал $x \in (3, 5)$. Назовем это множество $T$.

Теперь нужно из множества $T$ исключить точку $x=a$. Количество итоговых интервалов зависит от того, где находится точка $a$.

Множество решений состоит из одного интервала:

Это произойдет, если точка $a$ не принадлежит множеству $T$, то есть не лежит внутри интервала $(3, 5)$. Это возможно, если $a \le 3$ или $a \ge 5$. В этом случае исключать из интервала $(3, 5)$ ничего не нужно, и решение так и останется одним интервалом $x \in (3, 5)$.

Множество решений состоит из двух интервалов:

Это произойдет, если точка $a$ принадлежит множеству $T$, то есть $3 < a < 5$. В этом случае точка $a$ разбивает интервал $(3, 5)$ на два: $(3, a) \cup (a, 5)$. Множество решений будет состоять из этих двух интервалов.

Ответ: множество решений состоит из одного интервала при $a \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$; из двух интервалов при $a \in (3, 5)$.