Номер 138, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

138. a) $(x^2 - 16)(x^2 - x - 2)(x + 2) > 0;$

б) $(2 - 4x)(x^2 - x - 2) < 0;$

в) $(-4 - 3x)(x^2 + 3x - 4) > 0.$

а) $(x^2 - 16)(x^2 - x - 2)(x + 2) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала разложим на множители каждую скобку.

Первый множитель $x^2 - 16$ является разностью квадратов:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$

Второй множитель $x^2 - x - 2$ – это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x - 2)(x + 1)$.

Третий множитель $(x+2)$ уже является линейным.

Теперь перепишем исходное неравенство в разложенном на множители виде:
$(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 1)(x + 2) > 0$

Найдем нули (корни) левой части неравенства, приравняв ее к нулю:
$(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 1)(x + 2) = 0$
Корни: $x = 4$, $x = -4$, $x = 2$, $x = -1$, $x = -2$.

Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -4, -2, -1, 2, 4. Эти точки разбивают прямую на шесть интервалов.
$(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(4; +\infty)$, например, $x = 5$.
$(5 - 4)(5 + 4)(5 - 2)(5 + 1)(5 + 2) = 1 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 7 > 0$.
Знак в этом интервале – «+».
Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки справа налево: +, –, +, –, +, –.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»):
$(-4; -2)$, $(-1; 2)$, $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (-1; 2) \cup (4; +\infty)$.

б) $(2 - 4x)(x^2 - x - 2) < 0$

Разложим на множители левую часть неравенства.

Первый множитель $2 - 4x$:
$2 - 4x = -2(2x - 1)$

Второй множитель $x^2 - x - 2$ мы уже раскладывали в пункте а):
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

Подставим разложенные множители в неравенство:
$-2(2x - 1)(x - 2)(x + 1) < 0$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$(2x - 1)(x - 2)(x + 1) > 0$

Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:
$(2x - 1)(x - 2)(x + 1) = 0$
Корни: $2x-1=0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$; $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -1, $1/2$, 2. Они разбивают прямую на четыре интервала.
$(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$, $(1/2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Определим знаки в интервалах. Возьмем точку из крайнего правого интервала $(2; +\infty)$, например, $x = 3$.
$(2 \cdot 3 - 1)(3 - 2)(3 + 1) = 5 \cdot 1 \cdot 4 > 0$.
Знак в этом интервале – «+». Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: +, –, +, –.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»):
$(-1; 1/2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 1/2) \cup (2; +\infty)$.

в) $(-4 - 3x)(x^2 + 3x - 4) > 0$

Сначала разложим левую часть на множители.

Первый множитель $-4 - 3x$:
$-4 - 3x = -(3x + 4)$

Второй множитель $x^2 + 3x - 4$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$.

Перепишем неравенство:
$-(3x + 4)(x - 1)(x + 4) > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$(3x + 4)(x - 1)(x + 4) < 0$

Найдем корни левой части:
$(3x + 4)(x - 1)(x + 4) = 0$
Корни: $3x+4=0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$; $x-1=0 \Rightarrow x=1$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -4, $-4/3$, 1. Они разбивают прямую на четыре интервала.
$(-\infty; -4)$, $(-4; -4/3)$, $(-4/3; 1)$, $(1; +\infty)$.

Определим знаки в интервалах. Возьмем точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например, $x = 2$.
$(3 \cdot 2 + 4)(2 - 1)(2 + 4) = 10 \cdot 1 \cdot 6 > 0$.
Знак в этом интервале – «+». Знаки чередуются: +, –, +, –.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «–»):
$(-\infty; -4)$ и $(-4/3; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4/3; 1)$.