Номер 139, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

139. а) $(x-2)^2(x-1) > 0;$

б) $(x+4)(x+3)^2 < 0;$

в) $(3x-1)^3(x+1) > 0;$

г) $(x+2)(5x+3)^2 < 0;$

д) $(4+x)(9-x^2)(x^2-2x+1) > 0;$

е) $(x-1)(25-x^2)(x^2-4x+4) > 0;$

ж) $(3x-7)(x^2+2x+2) < 0;$

з) $(5x-8)(x^2-4x+5) > 0;$

и) $(x^2+4x+5)(x^2-4x+3)(x-1) < 0;$

к) $(-x^2+6x-10)(x^2-5x+6)(x-2) > 0.$

а) $(x - 2)^2(x - 1) > 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x - 2)^2(x - 1)$, приравняв ее к нулю. Корнями являются $x=1$ и $x=2$.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(x-2)^2 \ge 0$. Поскольку неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю, поэтому $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

При $x \neq 2$, множитель $(x-2)^2$ всегда строго положителен. Следовательно, знак всего выражения зависит только от знака множителя $(x-1)$. Неравенство $(x - 2)^2(x - 1) > 0$ при $x \neq 2$ равносильно неравенству $x - 1 > 0$.

Решая $x - 1 > 0$, получаем $x > 1$. Учитывая ограничение $x \neq 2$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, +\infty)$.

б) $(x + 4)(x + 3)^2 < 0$

Найдем нули выражения в левой части: $x=-4$ и $x=-3$.

Множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое ($<0$), то $x \neq -4$ и $x \neq -3$.

При $x \neq -3$, множитель $(x+3)^2$ строго положителен. Значит, знак всего произведения определяется знаком множителя $(x+4)$.

Неравенство сводится к $x+4 < 0$, что дает $x < -4$. Условие $x \neq -3$ при этом выполняется, так как $-4 < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4)$.

в) $(3x - 1)^3(x + 1) > 0$

Поскольку показатели степеней у обоих множителей нечетные (3 и 1), знак каждого множителя совпадает со знаком его основания. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$(3x - 1)(x + 1) > 0$.

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $(3x - 1)(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 1/3$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = (3x-1)(x+1) = 3x^2+2x-1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1/3, +\infty)$.

г) $(x + 2)(5x + 3)^2 < 0$

Найдем нули выражения в левой части: $x = -2$ и $5x+3=0 \implies x = -3/5$.

Множитель $(5x+3)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое ($<0$), то $x \neq -2$ и $x \neq -3/5$.

При $x \neq -3/5$, множитель $(5x+3)^2$ строго положителен. Значит, знак всего произведения определяется знаком множителя $(x+2)$.

Неравенство сводится к $x+2 < 0$, что дает $x < -2$. Условие $x \neq -3/5$ при этом выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

д) $(4 + x)(9 - x^2)(x^2 - 2x + 1) > 0$

Разложим каждый множитель на простые сомножители: $4+x = x+4$, $9-x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3)$ и $x^2-2x+1 = (x-1)^2$.

Подставим разложение в исходное неравенство:

$(x+4)(-(x-3)(x+3))(x-1)^2 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$(x+4)(x+3)(x-3)(x-1)^2 < 0$

Множитель $(x-1)^2$ неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 1$. При $x \neq 1$ он положителен, поэтому его можно отбросить, сохранив знак неравенства. Неравенство сводится к системе:

$\begin{cases} (x+4)(x+3)(x-3) < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство $(x+4)(x+3)(x-3) < 0$ методом интервалов. Корни: $-4, -3, 3$.

Определяем знаки на интервалах: $(-\infty, -4) \implies -$; $(-4, -3) \implies +$; $(-3, 3) \implies -$; $(3, +\infty) \implies +$.

Решением являются интервалы $(-\infty, -4)$ и $(-3, 3)$. Учитывая условие $x \neq 1$, разбиваем второй интервал.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 1) \cup (1, 3)$.

е) $(x - 1)(25 - x^2)(x^2 - 4x + 4) > 0$

Разложим множители: $25-x^2 = -(x-5)(x+5)$ и $x^2-4x+4 = (x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(x-1)(-(x-5)(x+5))(x-2)^2 > 0$

$-(x+5)(x-1)(x-5)(x-2)^2 > 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$(x+5)(x-1)(x-5)(x-2)^2 < 0$

Множитель $(x-2)^2$ неотрицателен. Из-за строгости неравенства $x \neq 2$. При $x \neq 2$ он положителен и не влияет на знак. Решаем систему:

$\begin{cases} (x+5)(x-1)(x-5) < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Решим первое неравенство методом интервалов. Корни: $-5, 1, 5$.

Знаки на интервалах: $(-\infty, -5) \implies -$; $(-5, 1) \implies +$; $(1, 5) \implies -$; $(5, +\infty) \implies +$.

Решением являются интервалы $(-\infty, -5)$ и $(1, 5)$. Учитывая $x \neq 2$, разбиваем второй интервал.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, 2) \cup (2, 5)$.

ж) $(3x - 7)(x^2 + 2x + 2) < 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 2$ положительно при любых значениях $x$.

Следовательно, можно разделить обе части неравенства на $x^2 + 2x + 2$, не меняя знака неравенства:

$3x - 7 < 0 \implies 3x < 7 \implies x < 7/3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 7/3)$.

з) $(5x - 8)(x^2 - 4x + 5) > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 5$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно.

Разделим обе части неравенства на это положительное выражение:

$5x - 8 > 0 \implies 5x > 8 \implies x > 8/5$.

Ответ: $x \in (8/5, +\infty)$.

и) $(x^2 + 4x + 5)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) < 0$

Рассмотрим каждый множитель. Для $x^2 + 4x + 5$: дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как $a=1>0$, этот трехчлен всегда положителен. Его можно отбросить, сохранив знак неравенства. Разложим $x^2 - 4x + 3$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1=1, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Неравенство сводится к:

$(x - 1)(x - 3)(x - 1) < 0$, то есть $(x - 1)^2(x - 3) < 0$.

Множитель $(x-1)^2$ неотрицателен. Так как неравенство строгое, $x \neq 1$. При $x \neq 1$ он положителен. Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Из $x-3<0$ следует $x<3$. Учитывая $x \neq 1$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 3)$.

к) $(-x^2 + 6x - 10)(x^2 - 5x + 6)(x - 2) > 0$

Рассмотрим каждый множитель. Для $-x^2 + 6x - 10$: дискриминант $D = 6^2 - 4(-1)(-10) = 36 - 40 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент $a=-1<0$, этот трехчлен всегда отрицателен.

Разделим обе части неравенства на отрицательное выражение $(-x^2 + 6x - 10)$, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x^2 - 5x + 6)(x - 2) < 0$

Разложим $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6=0$ равны $x_1=2, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 2)(x - 3)(x - 2) < 0$, то есть $(x - 2)^2(x - 3) < 0$.

Множитель $(x-2)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, $x \neq 2$. При $x \neq 2$ он положителен. Решаем систему:

$\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Из $x-3<0$ следует $x<3$. Учитывая $x \neq 2$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.