Номер 141, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

141. Какие неравенства называют равносильными? Равносильны ли неравенства:

а) $3x > 0$ и $\frac{3}{x} > 0$;

б) $-5x > 0$ и $\frac{5}{x} < 0$;

в) $\frac{x+1}{x+2} < 0$ и $(x+1)(x+2) < 0$?

Два неравенства с одной переменной называют равносильными, если множества их решений совпадают. Иными словами, любое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, любое решение второго является решением первого.

Проверим равносильность неравенств в каждом пункте.

а) $3x > 0$ и $\frac{3}{x} > 0$

Решим первое неравенство:
$3x > 0$
Разделим обе части на 3 (положительное число), знак неравенства не изменится:
$x > 0$
Множество решений: $(0; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$\frac{3}{x} > 0$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель 3 положителен, то и знаменатель должен быть положителен:
$x > 0$
Множество решений: $(0; +\infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.
Ответ: неравенства равносильны.

б) $-5x > 0$ и $\frac{5}{x} < 0$

Решим первое неравенство:
$-5x > 0$
Разделим обе части на -5 (отрицательное число), знак неравенства изменится на противоположный:
$x < 0$
Множество решений: $(-\infty; 0)$.

Решим второе неравенство:
$\frac{5}{x} < 0$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель 5 положителен, то знаменатель должен быть отрицателен:
$x < 0$
Множество решений: $(-\infty; 0)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.
Ответ: неравенства равносильны.

в) $\frac{x+1}{x+2} < 0$ и $(x+1)(x+2) < 0$

Решим первое неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x+1=0 \implies x=-1$.
Найдем нули знаменателя (точка разрыва): $x+2=0 \implies x=-2$.
Отметим точки -2 и -1 на числовой прямой. Они разделят прямую на три интервала. Определим знак выражения $\frac{x+1}{x+2}$ в каждом интервале:
- при $x < -2$, выражение положительно.
- при $-2 < x < -1$, выражение отрицательно.
- при $x > -1$, выражение положительно.
Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, следовательно, решение: $-2 < x < -1$.
Множество решений: $(-2; -1)$.

Решим второе неравенство. Это квадратичное неравенство, которое также можно решить методом интервалов.
Найдем корни уравнения $(x+1)(x+2) = 0$. Корни: $x=-1$ и $x=-2$.
Парабола $y=(x+1)(x+2)$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение: $-2 < x < -1$.
Множество решений: $(-2; -1)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.
Ответ: неравенства равносильны.