Номер 148, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

148. a) $ \frac{x^2 - 1}{x + 4} > 0; $

в) $ \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1} < 0; $

б) $ \frac{x^2 - 4}{x - 3} < 0; $

г) $ \frac{7 + x}{x^2 - 6x + 9} > 0. $

а) Решим неравенство $ \frac{x^2-1}{x+4} > 0 $ методом интервалов.
1. Разложим числитель на множители: $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $. Неравенство примет вид: $ \frac{(x-1)(x+1)}{x+4} > 0 $.
2. Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может менять знак.
Нули числителя: $ (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1 $.
Нуль знаменателя: $ x+4 = 0 \Rightarrow x_3 = -4 $. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=-4$ будет выколотой.
3. Отметим найденные точки на числовой оси: -4, -1, 1. Они разбивают ось на четыре интервала: $ (-\infty; -4) $, $ (-4; -1) $, $ (-1; 1) $, $ (1; +\infty) $.
4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $ x > 1 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{(2-1)(2+1)}{2+4} = \frac{1 \cdot 3}{6} > 0 $. Знак "+".
• При $ -1 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(0-1)(0+1)}{0+4} = \frac{-1 \cdot 1}{4} < 0 $. Знак "-".
• При $ -4 < x < -1 $ (например, $ x=-2 $): $ \frac{(-2-1)(-2+1)}{-2+4} = \frac{-3 \cdot -1}{2} > 0 $. Знак "+".
• При $ x < -4 $ (например, $ x=-5 $): $ \frac{(-5-1)(-5+1)}{-5+4} = \frac{-6 \cdot -4}{-1} < 0 $. Знак "-".

5. Так как неравенство строгое ($ > 0 $), выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $ x \in (-4; -1) \cup (1; +\infty) $.

б) Решим неравенство $ \frac{x^2-4}{x-3} < 0 $ методом интервалов.
1. Разложим числитель на множители: $ x^2-4 = (x-2)(x+2) $. Неравенство примет вид: $ \frac{(x-2)(x+2)}{x-3} < 0 $.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2 $.
Нуль знаменателя: $ x-3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3 $. Точка $x=3$ выколотая.
3. Отметим точки -2, 2, 3 на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы: $ (-\infty; -2) $, $ (-2; 2) $, $ (2; 3) $, $ (3; +\infty) $.
4. Определим знак выражения в каждом интервале.

• При $ x > 3 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{(4-2)(4+2)}{4-3} > 0 $. Знак "+".
• При $ 2 < x < 3 $ (например, $ x=2.5 $): $ \frac{(2.5-2)(2.5+2)}{2.5-3} < 0 $. Знак "-".
• При $ -2 < x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(0-2)(0+2)}{0-3} > 0 $. Знак "+".
• При $ x < -2 $ (например, $ x=-3 $): $ \frac{(-3-2)(-3+2)}{-3-3} < 0 $. Знак "-".

5. Так как неравенство строгое ($ < 0 $), выбираем интервалы со знаком "-".
Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; 3) $.

в) Решим неравенство $ \frac{x^2-4x+4}{x-1} < 0 $.
1. Заметим, что числитель является полным квадратом: $ x^2-4x+4 = (x-2)^2 $. Неравенство примет вид: $ \frac{(x-2)^2}{x-1} < 0 $.
2. Выражение $ (x-2)^2 $ всегда неотрицательно, то есть $ (x-2)^2 \ge 0 $ для любого $x$. Оно равно нулю при $ x=2 $.
3. Так как неравенство строгое ($ < 0 $), числитель не может быть равен нулю, значит $ x \ne 2 $.
4. При $ x \ne 2 $ числитель $ (x-2)^2 $ всегда положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным: $ x-1 < 0 $.
5. Решаем неравенство $ x-1 < 0 \Rightarrow x < 1 $.
6. Условие $ x < 1 $ не противоречит условию $ x \ne 2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 1) $.

г) Решим неравенство $ \frac{7+x}{x^2-6x+9} > 0 $.
1. Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $ x^2-6x+9 = (x-3)^2 $. Неравенство примет вид: $ \frac{7+x}{(x-3)^2} > 0 $.
2. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ (x-3)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 $.
3. При $ x \ne 3 $ выражение в знаменателе $ (x-3)^2 $ всегда положительно.
4. Чтобы вся дробь была положительной, числитель также должен быть положительным: $ 7+x > 0 $.
5. Решаем неравенство $ 7+x > 0 \Rightarrow x > -7 $.
6. Объединяя условия $ x > -7 $ и $ x \ne 3 $, получаем решение. Это все числа, большие -7, за исключением числа 3.
Ответ: $ x \in (-7; 3) \cup (3; +\infty) $.