Номер 153, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

153. а) $\frac{x^2 - 6x + 4}{x - 1} > 0;$

б) $\frac{x^2 + 6x + 6}{x + 2} < 0;$

в) $\frac{x^2 - 5}{2x^2 - 3x - 2} < 0;$

г) $\frac{3 - x^2}{3x^2 - 4x - 1} > 0.$

a)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x + 4}{x - 1} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя, решив уравнение $x^2 - 6x + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

Итак, нули числителя: $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

2. Найдем нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Это точка разрыва, она будет выколотой на числовой оси.

3. Расположим найденные точки на числовой оси в порядке возрастания. Оценим значения корней: $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, т.е. $2 < \sqrt{5} < 3$.

$x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$.

$x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$.

Получаем порядок точек: $3 - \sqrt{5}$, $1$, $3 + \sqrt{5}$.

4. Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty; 3 - \sqrt{5})$, $(3 - \sqrt{5}; 1)$, $(1; 3 + \sqrt{5})$, $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 6$:

$\frac{6^2 - 6 \cdot 6 + 4}{6 - 1} = \frac{36 - 36 + 4}{5} = \frac{4}{5} > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть интервалы со знаком "+".

Это интервалы $(3 - \sqrt{5}; 1)$ и $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3 - \sqrt{5}; 1) \cup (3 + \sqrt{5}; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 6}{x + 2} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x^2 + 6x + 6 = 0$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$.

Нули числителя: $x_1 = -3 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -3 + \sqrt{3}$.

2. Найдем нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

3. Расположим точки на числовой оси. Оценим значения: $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, т.е. $1 < \sqrt{3} < 2$.

$x_1 = -3 - \sqrt{3} \approx -3 - 1.73 = -4.73$.

$x_2 = -3 + \sqrt{3} \approx -3 + 1.73 = -1.27$.

Порядок точек: $-3 - \sqrt{3}$, $-2$, $-3 + \sqrt{3}$.

4. Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -3 - \sqrt{3})$, $(-3 - \sqrt{3}; -2)$, $(-2; -3 + \sqrt{3})$, $(-3 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Возьмем пробную точку $x = 0$:

$\frac{0^2 + 6 \cdot 0 + 6}{0 + 2} = \frac{6}{2} = 3 > 0$.

Знаки на интервалах, чередуясь справа налево: +, -, +, -.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\infty; -3 - \sqrt{3})$ и $(-2; -3 + \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3 - \sqrt{3}) \cup (-2; -3 + \sqrt{3})$.

в)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 5}{2x^2 - 3x - 2} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.

Нули числителя: $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

2. Найдем нули знаменателя: $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

Нули знаменателя: $x_3 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $x_4 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

3. Расположим точки на числовой оси. Оценим $\sqrt{5} \approx 2.24$.

Порядок точек: $-\sqrt{5}$, $-0.5$, $2$, $\sqrt{5}$.

4. Определим знаки на интервалах. Возьмем пробную точку $x = 3$:

$\frac{3^2 - 5}{2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 - 2} = \frac{9 - 5}{18 - 9 - 2} = \frac{4}{7} > 0$.

Знаки на интервалах, чередуясь справа налево: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\sqrt{5}; -0.5)$ и $(2; \sqrt{5})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{5}; -0.5) \cup (2; \sqrt{5})$.

г)

Решим неравенство $\frac{3 - x^2}{3x^2 - 4x - 1} > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при старшей степени в числителе был положительным: $\frac{x^2 - 3}{3x^2 - 4x - 1} < 0$.

1. Найдем нули числителя: $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Нули числителя: $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

2. Найдем нули знаменателя: $3x^2 - 4x - 1 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$.

$x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$.

Нули знаменателя: $x_3 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ и $x_4 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$.

3. Расположим точки на числовой оси. Оценим значения: $\sqrt{3} \approx 1.732$; $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, т.е. $2 < \sqrt{7} < 3$.

$x_3 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 - 2.65}{3} \approx -0.22$.

$x_4 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 + 2.65}{3} \approx 1.55$.

Порядок точек: $-\sqrt{3}$, $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$, $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $\sqrt{3}$.

4. Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 3}{3x^2 - 4x - 1}$ на интервалах. Возьмем пробную точку $x = 2$:

$\frac{2^2 - 3}{3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 1} = \frac{4 - 3}{12 - 8 - 1} = \frac{1}{3} > 0$.

Знаки на интервалах, чередуясь справа налево: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение $\frac{x^2 - 3}{3x^2 - 4x - 1}$ меньше нуля (согласно преобразованному неравенству), то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\sqrt{3}; \frac{2 - \sqrt{7}}{3})$ и $(\frac{2 + \sqrt{7}}{3}; \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}; \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{2 + \sqrt{7}}{3}; \sqrt{3})$.