Номер 160, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

160. a) $\begin{cases} (x-1)(x-2) < 0, \\ x(x-3) > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+10)(x-13) > 0, \\ (x+8)(x-12) < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 4 < 0, \\ x > 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < -2, \\ x^2 - 9 > 0. \end{cases}$

а)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-1)(x-2) < 0 \\ x(x-3) > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x-1)(x-2) < 0$.
Найдем нули функции $y=(x-1)(x-2)$: $x_1=1$, $x_2=2$.
Графиком функции является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение этого неравенства: $1 < x < 2$, или $x \in (1, 2)$.
2. Решим второе неравенство $x(x-3) > 0$.
Найдем нули функции $y=x(x-3)$: $x_1=0$, $x_2=3$.
Графиком функции является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, решение этого неравенства: $x < 0$ или $x > 3$, или $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
3. Найдем пересечение решений. Нам нужно найти общие решения для интервалов $(1, 2)$ и $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
Эти множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно принадлежали бы интервалу $(1, 2)$ и множеству $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

б)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x+10)(x-13) > 0 \\ (x+8)(x-12) < 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x+10)(x-13) > 0$.
Нули функции $y=(x+10)(x-13)$: $x_1=-10$, $x_2=13$.
Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Решение: $x < -10$ или $x > 13$, то есть $x \in (-\infty, -10) \cup (13, \infty)$.
2. Решим второе неравенство $(x+8)(x-12) < 0$.
Нули функции $y=(x+8)(x-12)$: $x_1=-8$, $x_2=12$.
Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями.
Решение: $-8 < x < 12$, то есть $x \in (-8, 12)$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -10) \cup (13, \infty)) \cap (-8, 12)$.
Интервал $(-8, 12)$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -10) \cup (13, \infty)$.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

в)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x > 9 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4 < 0$.
Разложим на множители: $(x-2)(x+2) < 0$.
Нули: $x_1=-2$, $x_2=2$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $-2 < x < 2$, или $x \in (-2, 2)$.
2. Второе неравенство уже дано в решенном виде: $x > 9$, или $x \in (9, \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-2, 2) \cap (9, \infty)$.
Интервалы $(-2, 2)$ и $(9, \infty)$ не пересекаются.
Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

г)
Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x < -2 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases} $
1. Первое неравенство: $x < -2$, или $x \in (-\infty, -2)$.
2. Решим второе неравенство $x^2 - 9 > 0$.
Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$.
Нули: $x_1=-3$, $x_2=3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x < -3$ или $x > 3$, или $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -2) \cap ((-\infty, -3) \cup (3, \infty))$.
Чтобы найти пересечение, рассмотрим два случая:
а) Пересечение $(-\infty, -2)$ и $(-\infty, -3)$. Общей частью является интервал $(-\infty, -3)$.
б) Пересечение $(-\infty, -2)$ и $(3, \infty)$. Эти интервалы не пересекаются.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение системы.
Решение: $x \in (-\infty, -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.