Номер 162, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

162. a) $\begin{cases} (x-5)(x+1) > 0, \\ (x-10)^2 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+2)(x+3) < 0, \\ (x+2)^2 > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0, \\ x^2 (x-7)^2 > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x^2 - 1)(x+3) > 0, \\ (x+5)^2 (x-1)^2 > 0. \end{cases}$

а) Дана система неравенств: $ \begin{cases} (x-5)(x+1) > 0, \\ (x-10)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x-5)(x+1) > 0$. Корнями соответствующего уравнения $(x-5)(x+1)=0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y=(x-5)(x+1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (5; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $(x-10)^2 > 0$. Выражение в левой части является квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно. Оно обращается в ноль только при $x-10=0$, то есть при $x=10$. Поскольку неравенство строгое, это значение необходимо исключить. Решение второго неравенства: $x \neq 10$, что можно записать как $x \in (-\infty; 10) \cup (10; \infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Для этого из множества решений первого неравенства $(-\infty; -1) \cup (5; \infty)$ нужно исключить точку $x=10$. Эта точка попадает в интервал $(5; \infty)$.
Таким образом, решением системы является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (5; 10) \cup (10; \infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (5; 10) \cup (10; \infty)$.

б) Дана система неравенств: $ \begin{cases} (x+2)(x+3) < 0, \\ (x+2)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x+2)(x+3) < 0$. Корни уравнения $(x+2)(x+3)=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции отрицательны между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-3; -2)$.
2. Решим второе неравенство $(x+2)^2 > 0$. Выражение $(x+2)^2$ неотрицательно для любого $x$ и равно нулю при $x=-2$. Так как неравенство строгое, решение: $x \neq -2$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-3; -2)$ и $x \neq -2$. Интервал $(-3; -2)$ по определению не включает свои концы, в том числе точку $x=-2$. Следовательно, второе условие уже выполнено для всех $x$ из этого интервала.
Решением системы является интервал $(-3; -2)$.
Ответ: $(-3; -2)$.

в) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0, \\ x^2(x-7)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Разложим на множители: $(x-1)(x-3) > 0$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $x^2(x-7)^2 > 0$. Его можно записать как $(x(x-7))^2 > 0$. Левая часть - это квадрат, который всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=0$ или $x-7=0$, то есть при $x=0$ и $x=7$. Поскольку неравенство строгое, эти значения нужно исключить. Решение второго неравенства: $x \neq 0$ и $x \neq 7$.
3. Найдем пересечение решений. Из множества $(-\infty; 1) \cup (3; \infty)$ нужно исключить точки $x=0$ и $x=7$. Точка $x=0$ находится в интервале $(-\infty; 1)$, а точка $x=7$ находится в интервале $(3; \infty)$. Исключая эти точки, получаем:
$((-\infty; 1) \setminus \{0\}) \cup ((3; \infty) \setminus \{7\}) = ((-\infty; 0) \cup (0; 1)) \cup ((3; 7) \cup (7; \infty))$.
Общее решение: $(-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (3; 7) \cup (7; \infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (3; 7) \cup (7; \infty)$.

г) Дана система неравенств: $ \begin{cases} (x^2-1)(x+3) > 0, \\ (x+5)^2(x-1)^2 > 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство $(x^2-1)(x+3) > 0$. Разложим на множители: $(x-1)(x+1)(x+3) > 0$. Найдем корни соответствующего уравнения: $x_1=-3$, $x_2=-1$, $x_3=1$. Используем метод интервалов. Нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:
- при $x \in (1; \infty)$, например $x=2$: $(+)(+)(+) > 0$
- при $x \in (-1; 1)$, например $x=0$: $(-)(+)(+) < 0$
- при $x \in (-3; -1)$, например $x=-2$: $(-)(-)(+) > 0$
- при $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $(-)(-)(-) < 0$
Выбираем интервалы со знаком "+". Решение первого неравенства: $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $(x+5)^2(x-1)^2 > 0$. Его можно записать как $((x+5)(x-1))^2 > 0$. Левая часть всегда неотрицательна. Она равна нулю при $x+5=0$ (т.е. $x=-5$) и при $x-1=0$ (т.е. $x=1$). Так как неравенство строгое, эти точки надо исключить. Решение второго неравенства: $x \neq -5$ и $x \neq 1$.
3. Найдем пересечение решений: $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$ и ($x \neq -5$ и $x \neq 1$). Точка $x=-5$ не входит в множество решений первого неравенства. Точка $x=1$ является граничной точкой для интервала $(1; \infty)$ и не входит в него. Следовательно, второе условие не накладывает дополнительных ограничений на множество $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$.
Решением системы является $x \in (-3; -1) \cup (1; \infty)$.
Ответ: $(-3; -1) \cup (1; \infty)$.