Номер 166, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (166—175):

166. а) $2x - 3 \le 0$;

б) $4x - 3 \ge 0$;

в) $5x - 8 \ge 3x - 1$;

г) $2x - 4 \le 4x - 3$.

а) $2x - 3 \le 0$

Чтобы решить это линейное неравенство, сначала изолируем слагаемое с переменной $x$. Для этого перенесем свободный член $-3$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$2x \le 3$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $2$. Так как $2$ — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{2x}{2} \le \frac{3}{2}$

$x \le 1.5$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до $1.5$, включая число $1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

б) $4x - 3 \ge 0$

Перенесем свободный член $-3$ в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$4x \ge 3$

Разделим обе части на положительный коэффициент $4$, при этом знак неравенства сохраняется:

$\frac{4x}{4} \ge \frac{3}{4}$

$x \ge \frac{3}{4}$

Решением является числовой промежуток от $\frac{3}{4}$ до плюс бесконечности, включая число $\frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}; +\infty)$.

в) $5x - 8 \ge 3x - 1$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а свободные члены — в правой. Для этого вычтем $3x$ из обеих частей и прибавим $8$ к обеим частям:

$5x - 3x \ge -1 + 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$2x \ge 7$

Разделим обе части на $2$. Так как $2 > 0$, знак неравенства не меняется:

$\frac{2x}{2} \ge \frac{7}{2}$

$x \ge 3.5$

Решением является числовой промежуток от $3.5$ до плюс бесконечности, включая число $3.5$.

Ответ: $x \in [3.5; +\infty)$.

г) $2x - 4 \le 4x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую. Чтобы сохранить коэффициент при $x$ положительным, вычтем $2x$ из обеих частей и прибавим $3$ к обеим частям:

$-4 + 3 \le 4x - 2x$

Упростим обе части неравенства:

$-1 \le 2x$

Теперь разделим обе части на $2$. Знак неравенства не изменится:

$\frac{-1}{2} \le x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$x \ge -0.5$

Решением является числовой промежуток от $-0.5$ до плюс бесконечности, включая число $-0.5$.

Ответ: $x \in [-0.5; +\infty)$.