Номер 170, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

170. a) $(x^2 - 1)(x + 3) \ge 0;$

б) $(7 - x)(4 - x^2) \le 0;$

в) $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \ge 0;$

г) $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 - 1)(x + 3) \geq 0$.

Разложим множитель $(x^2 - 1)$ на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Неравенство примет вид: $(x - 1)(x + 1)(x + 3) \geq 0$.

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3)$, приравняв каждый множитель к нулю:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(1; +\infty)$ при $x=2$ все множители положительны, значит, произведение положительно. Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки на интервалах справа налево: `+`, `-`, `+`, `-`.

Нам нужно найти промежутки, где выражение не отрицательно, то есть $f(x) \geq 0$. Это интервалы со знаком `+` и сами точки-нули. Таким образом, решением является объединение промежутков.

Ответ: $[-3; -1] \cup [1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(7 - x)(4 - x^2) \leq 0$.

Для удобства приведем множители к стандартному виду $(x-a)$.
$7 - x = -(x - 7)$
$4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$

Подставим в неравенство:
$(-(x - 7)) \cdot (-(x - 2)(x + 2)) \leq 0$
$(x - 7)(x - 2)(x + 2) \leq 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули левой части:
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 7$.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки в получившихся интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 7)$, $(7; +\infty)$. В крайнем правом интервале выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются. Расставим знаки справа налево: `+`, `-`, `+`, `-`.

Мы ищем решения неравенства $\leq 0$, что соответствует интервалам со знаком `-` и самим точкам-нулям.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; 7]$.

в) Решим неравенство $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \geq 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(12 - 5x)(x - 2)^2 \geq 0$.

Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен (то есть $\geq 0$) при любом $x$.
1. Если $(x - 2)^2 = 0$, то есть $x = 2$, неравенство превращается в $(12 - 5 \cdot 2)(2 - 2)^2 \geq 0$, что равно $2 \cdot 0 \geq 0$, или $0 \geq 0$. Это верное утверждение, значит, $x = 2$ является решением.
2. Если $(x - 2)^2 > 0$, то есть $x \neq 2$, мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $(x-2)^2$, не меняя знака неравенства. Получим: $12 - 5x \geq 0$.
Решим это линейное неравенство: $12 \geq 5x$, откуда $x \leq \frac{12}{5}$ или $x \leq 2.4$.

Объединяем полученные результаты: $x \leq 2.4$. Точка $x=2$ уже входит в этот промежуток.

Ответ: $(-\infty; 2.4]$.

г) Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \leq 0$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Его корни по теореме Виета равны 2 и 3, так как $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$.
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим в исходное неравенство:
$(x - 2)(x - 3)(x - 3) \leq 0$
$(x - 2)(x - 3)^2 \leq 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Обратим внимание, что корень $x=3$ имеет кратность 2 (четную), а корень $x=2$ имеет кратность 1 (нечетную).

Отметим точки на числовой оси и определим знаки. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ при $x=4$ выражение $(4-2)(4-3)^2 = 2 \cdot 1 > 0$ положительно.
При переходе через корень $x=3$ (четная кратность) знак не меняется. Значит, в интервале $(2; 3)$ знак тоже `+`.
При переходе через корень $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на противоположный. Значит, в интервале $(-\infty; 2)$ знак `-`.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение $\leq 0$. Это интервал со знаком `-` и точки, где выражение равно нулю.
Выражение отрицательно при $x \in (-\infty; 2)$.
Выражение равно нулю при $x=2$ и $x=3$.
Объединяя эти результаты, получаем решение.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup \{3\}$.