Номер 167, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

167. a) $x^2 - 12x + 32 \le 0$;

B) $2x^2 + x - 7 \ge 0$;

б) $x^2 + 8x + 12 \le 0$;

г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$.

а) $x^2 - 12x + 32 \le 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 32 = 0$.

Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=-12$, $c=32$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 4}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 12x + 32$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=1 > 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=4$ и $x=8$.

Неравенство $x^2 - 12x + 32 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это промежуток между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $4 \le x \le 8$.

Ответ: $x \in [4; 8]$.

б) $x^2 + 8x + 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x + 12 = 0$.
Здесь $a=1$, $b=8$, $c=12$.
Вычислим дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Она пересекает ось абсцисс в точках $x=-6$ и $x=-2$.

Неравенство $x^2 + 8x + 12 \le 0$ истинно, когда парабола находится ниже или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая их.

Следовательно, решение неравенства: $-6 \le x \le -2$.

Ответ: $x \in [-6; -2]$.

в) $2x^2 + x - 7 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 7 = 0$.
Здесь $a=2$, $b=1$, $c=-7$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$.
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$).

Неравенство $2x^2 + x - 7 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение представляет собой объединение двух промежутков: $x \le \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$ и $x \ge \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}; +\infty)$.

г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 1 = 0$.
Здесь $a=3$, $b=-5$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 25 + 12 = 37$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 5x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).

Неравенство $3x^2 - 5x - 1 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая их.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{5 - \sqrt{37}}{6} \le x \le \frac{5 + \sqrt{37}}{6}$.

Ответ: $x \in [\frac{5 - \sqrt{37}}{6}; \frac{5 + \sqrt{37}}{6}]$.