Номер 173, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

173. a) $|x| \le 3$;

б) $|x| \ge 4$;

в) $|x - 3| \le 5$;

г) $|x - 6| \ge 1$;

д) $|x + 4| \ge 2$;

e) $|x + 2| \le 4$.

а) $|x| \le 3$

Данное неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой не превышает 3. Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно системе неравенств $-a \le f(x) \le a$. В нашем случае $f(x) = x$ и $a = 3$. Следовательно, неравенство $|x| \le 3$ эквивалентно двойному неравенству:

$-3 \le x \le 3$

Это означает, что $x$ принадлежит отрезку от -3 до 3, включая концы.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.

б) $|x| \ge 4$

Данное неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой не меньше 4. Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$. В данном случае $f(x) = x$ и $a = 4$. Следовательно, неравенство $|x| \ge 4$ распадается на два случая:

$x \ge 4$ или $x \le -4$

Решением является объединение двух промежутков: луча от 4 до плюс бесконечности и луча от минус бесконечности до -4, включая граничные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

в) $|x - 3| \le 5$

Используем правило для неравенств с модулем вида $|f(x)| \le a$, что равносильно $-a \le f(x) \le a$. Здесь $f(x) = x - 3$ и $a = 5$. Получаем двойное неравенство:

$-5 \le x - 3 \le 5$

Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-5 + 3 \le x - 3 + 3 \le 5 + 3$

$-2 \le x \le 8$

Решением является отрезок от -2 до 8, включая концы.

Ответ: $x \in [-2, 8]$.

г) $|x - 6| \ge 1$

Используем правило для неравенств с модулем вида $|f(x)| \ge a$, что равносильно совокупности $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$. Здесь $f(x) = x - 6$ и $a = 1$. Получаем совокупность двух неравенств:

$x - 6 \ge 1$ или $x - 6 \le -1$

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) $x - 6 \ge 1 \implies x \ge 1 + 6 \implies x \ge 7$

2) $x - 6 \le -1 \implies x \le -1 + 6 \implies x \le 5$

Объединяя решения, получаем множество всех чисел, которые меньше или равны 5, или больше или равны 7.

Ответ: $x \in (-\infty, 5] \cup [7, \infty)$.

д) $|x + 4| \ge 2$

Применяем правило для неравенств вида $|f(x)| \ge a$. Здесь $f(x) = x + 4$ и $a = 2$. Получаем совокупность:

$x + 4 \ge 2$ или $x + 4 \le -2$

Решаем каждое неравенство:

1) $x + 4 \ge 2 \implies x \ge 2 - 4 \implies x \ge -2$

2) $x + 4 \le -2 \implies x \le -2 - 4 \implies x \le -6$

Решением является объединение полученных промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-2, \infty)$.

е) $|x + 2| \le 4$

Применяем правило для неравенств вида $|f(x)| \le a$. Здесь $f(x) = x + 2$ и $a = 4$. Получаем двойное неравенство:

$-4 \le x + 2 \le 4$

Вычтем 2 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-4 - 2 \le x + 2 - 2 \le 4 - 2$

$-6 \le x \le 2$

Решением является отрезок от -6 до 2, включая концы.

Ответ: $x \in [-6, 2]$.