Номер 180, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

180. a) $ (x^2 + 6x + 5)^2 - 2(x^2 + 6x + 5) - 15 < 0; $

б) $ (x^2 - 6x + 7)^2 - 9(x^2 - 6x + 7) + 14 \ge 0; $

в) $ (x^2 + 4x + 2)^2 - 6(x^2 + 4x + 2) - 7 > 0; $

г) $ (x^2 + 4x + 1)^2 - 7(x^2 + 4x + 1) + 6 \le 0. $

а) $(x^2 + 6x + 5)^2 - 2(x^2 + 6x + 5) - 15 < 0$

Данное неравенство является квадратным относительно выражения $(x^2 + 6x + 5)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 6x + 5$.

Тогда исходное неравенство принимает вид:

$t^2 - 2t - 15 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 15$.

Решим уравнение $t^2 - 2t - 15 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$; $t_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 15$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 15 < 0$ выполняется при $t \in (-3; 5)$.

Таким образом, $-3 < t < 5$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$-3 < x^2 + 6x + 5 < 5$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 6x + 5 > -3 \\ x^2 + 6x + 5 < 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 + 6x + 8 > 0$

Корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 + 6x < 0$

$x(x + 6) < 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.

Решение неравенства: $x \in (-6; 0)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $x \in ((-\infty; -4) \cup (-2; \infty)) \cap (-6; 0)$.

Пересечением является объединение интервалов $(-6; -4)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-6; -4) \cup (-2; 0)$.

б) $(x^2 - 6x + 7)^2 - 9(x^2 - 6x + 7) + 14 \geq 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x + 7$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 9t + 14 \geq 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 9t + 14 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = 7$.

Парабола $y = t^2 - 9t + 14$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 9t + 14 \geq 0$ выполняется при $t \leq 2$ или $t \geq 7$.

Таким образом, получаем совокупность двух неравенств:

$\begin{bmatrix} t \leq 2 \\ t \geq 7 \end{bmatrix}$

Вернемся к переменной $x$:

$\begin{bmatrix} x^2 - 6x + 7 \leq 2 \\ x^2 - 6x + 7 \geq 7 \end{bmatrix}$

Решим первое неравенство совокупности:

$x^2 - 6x + 5 \leq 0$

Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Решение неравенства: $x \in [1; 5]$.

Решим второе неравенство совокупности:

$x^2 - 6x \geq 0$

$x(x - 6) \geq 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$.

Объединим решения двух неравенств: $x \in ((-\infty; 0] \cup [6; \infty)) \cup [1; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [1; 5] \cup [6; \infty)$.

в) $(x^2 + 4x + 2)^2 - 6(x^2 + 4x + 2) - 7 > 0$

Введем замену. Пусть $t = x^2 + 4x + 2$.

Получаем неравенство:

$t^2 - 6t - 7 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = -1$, $t_2 = 7$.

Решение неравенства $t^2 - 6t - 7 > 0$: $t < -1$ или $t > 7$.

Получаем совокупность:

$\begin{bmatrix} x^2 + 4x + 2 < -1 \\ x^2 + 4x + 2 > 7 \end{bmatrix}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 4x + 3 < 0$

Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.

Решение: $x \in (-3; -1)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 4x - 5 > 0$

Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.

Решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$.

Объединяя решения, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -1) \cup (1; \infty)$.

г) $(x^2 + 4x + 1)^2 - 7(x^2 + 4x + 1) + 6 \leq 0$

Пусть $t = x^2 + 4x + 1$.

Получаем неравенство:

$t^2 - 7t + 6 \leq 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 6 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$.

Решение неравенства $t^2 - 7t + 6 \leq 0$: $1 \leq t \leq 6$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$1 \leq x^2 + 4x + 1 \leq 6$

Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4x + 1 \geq 1 \\ x^2 + 4x + 1 \leq 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 4x \geq 0$

$x(x + 4) \geq 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Решение: $x \in (-\infty; -4] \cup [0; \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 4x - 5 \leq 0$

Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.

Решение: $x \in [-5; 1]$.

Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty; -4] \cup [0; \infty)) \cap [-5; 1]$.

Пересечением является объединение отрезков $[-5; -4]$ и $[0; 1]$.

Ответ: $x \in [-5; -4] \cup [0; 1]$.