Страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (179–183):

179. а) $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 + 4 < 0;$

б) $(x + 1)^4 - 13(x + 1)^2 + 36 \le 0;$

в) $(x + 1)^4 - 5(x + 1)^2 + 4 \ge 0;$

г) $(x - 3)^4 - 10(x - 3)^2 + 9 > 0.$

а) $(x-3)^4 - 5(x-3)^2 + 4 < 0$

Данное неравенство является биквадратным. Введем замену переменной. Пусть $t = (x-3)^2$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 5t + 4 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 5t + 4$. Решим уравнение $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Таким образом, корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Графиком функции $y = t^2 - 5t + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Следовательно, решение неравенства для $t$:

$1 < t < 4$

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену $t = (x-3)^2$:

$1 < (x-3)^2 < 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} (x-3)^2 > 1 \\ (x-3)^2 < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-3)^2 > 1$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x-3| > 1$. Это неравенство распадается на совокупность двух неравенств:

$x-3 > 1$ или $x-3 < -1$

$x > 4$ или $x < 2$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-3)^2 < 4$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x-3| < 2$. Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 < x-3 < 2$

Прибавив 3 ко всем частям, получаем:

$1 < x < 5$

Решение второго неравенства: $x \in (1, 5)$.

Итоговое решение является пересечением решений двух неравенств системы: $x \in ((-\infty, 2) \cup (4, \infty)) \cap (1, 5)$.

На числовой оси это пересечение дает два интервала: $(1, 2)$ и $(4, 5)$.

Ответ: $(1, 2) \cup (4, 5)$.

б) $(x+1)^4 - 13(x+1)^2 + 36 \le 0$

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = (x+1)^2$, где $t \ge 0$.

Неравенство сводится к квадратному:

$t^2 - 13t + 36 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 13t + 36$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями (включая сами корни):

$4 \le t \le 9$

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Производим обратную замену $t = (x+1)^2$:

$4 \le (x+1)^2 \le 9$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы:

$\begin{cases} (x+1)^2 \ge 4 \\ (x+1)^2 \le 9 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $(x+1)^2 \ge 4 \implies |x+1| \ge 2$.

$x+1 \ge 2$ или $x+1 \le -2$

$x \ge 1$ или $x \le -3$

Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $(x+1)^2 \le 9 \implies |x+1| \le 3$.

$-3 \le x+1 \le 3$

$-4 \le x \le 2$

Решение: $x \in [-4, 2]$.

Находим пересечение решений системы: $x \in ((-\infty, -3] \cup [1, \infty)) \cap [-4, 2]$.

Пересечение дает объединение отрезков $[-4, -3] \cup [1, 2]$.

Ответ: $[-4, -3] \cup [1, 2]$.

в) $(x+1)^4 - 5(x+1)^2 + 4 \ge 0$

Введем замену $t = (x+1)^2$, при этом $t \ge 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 5t + 4 \ge 0$.

Корни соответствующего уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Так как парабола $y = t^2 - 5t + 4$ ветвями направлена вверх, неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \le 1$ или $t \ge 4$

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем совокупность:

$0 \le t \le 1$ или $t \ge 4$

Выполняем обратную замену $t = (x+1)^2$ и рассматриваем два случая.

Случай 1: $0 \le (x+1)^2 \le 1$.

Неравенство $(x+1)^2 \ge 0$ верно для всех $x$. Решаем $(x+1)^2 \le 1 \implies |x+1| \le 1$.

$-1 \le x+1 \le 1$

$-2 \le x \le 0$

Решение для первого случая: $x \in [-2, 0]$.

Случай 2: $(x+1)^2 \ge 4$.

Это неравенство эквивалентно $|x+1| \ge 2$, что дает:

$x+1 \ge 2$ или $x+1 \le -2$

$x \ge 1$ или $x \le -3$

Решение для второго случая: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Итоговое решение является объединением решений обоих случаев.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [-2, 0] \cup [1, \infty)$.

г) $(x-3)^4 - 10(x-3)^2 + 9 > 0$

Введем замену переменной $t = (x-3)^2$, где $t \ge 0$.

Неравенство преобразуется в $t^2 - 10t + 9 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1, t_2 = 9$.

Решением неравенства $t^2 - 10t + 9 > 0$ является совокупность $t < 1$ или $t > 9$.

С учетом ограничения $t \ge 0$, получаем:

$0 \le t < 1$ или $t > 9$

Сделаем обратную замену $t = (x-3)^2$ и рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 \le (x-3)^2 < 1$.

Так как $(x-3)^2 \ge 0$ всегда, решаем $(x-3)^2 < 1 \implies |x-3| < 1$.

$-1 < x-3 < 1$

$2 < x < 4$

Решение для первого случая: $x \in (2, 4)$.

Случай 2: $(x-3)^2 > 9$.

Это неравенство эквивалентно $|x-3| > 3$, что дает:

$x-3 > 3$ или $x-3 < -3$

$x > 6$ или $x < 0$

Решение для второго случая: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Общее решение является объединением решений, полученных в двух случаях.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (6, \infty)$.

180. a) $ (x^2 + 6x + 5)^2 - 2(x^2 + 6x + 5) - 15 < 0; $

б) $ (x^2 - 6x + 7)^2 - 9(x^2 - 6x + 7) + 14 \ge 0; $

в) $ (x^2 + 4x + 2)^2 - 6(x^2 + 4x + 2) - 7 > 0; $

г) $ (x^2 + 4x + 1)^2 - 7(x^2 + 4x + 1) + 6 \le 0. $

а) $(x^2 + 6x + 5)^2 - 2(x^2 + 6x + 5) - 15 < 0$

Данное неравенство является квадратным относительно выражения $(x^2 + 6x + 5)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 6x + 5$.

Тогда исходное неравенство принимает вид:

$t^2 - 2t - 15 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 15$.

Решим уравнение $t^2 - 2t - 15 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$; $t_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 15$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 15 < 0$ выполняется при $t \in (-3; 5)$.

Таким образом, $-3 < t < 5$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$-3 < x^2 + 6x + 5 < 5$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 6x + 5 > -3 \\ x^2 + 6x + 5 < 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 + 6x + 8 > 0$

Корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 + 6x < 0$

$x(x + 6) < 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.

Решение неравенства: $x \in (-6; 0)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $x \in ((-\infty; -4) \cup (-2; \infty)) \cap (-6; 0)$.

Пересечением является объединение интервалов $(-6; -4)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-6; -4) \cup (-2; 0)$.

б) $(x^2 - 6x + 7)^2 - 9(x^2 - 6x + 7) + 14 \geq 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x + 7$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 9t + 14 \geq 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 9t + 14 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = 7$.

Парабола $y = t^2 - 9t + 14$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 9t + 14 \geq 0$ выполняется при $t \leq 2$ или $t \geq 7$.

Таким образом, получаем совокупность двух неравенств:

$\begin{bmatrix} t \leq 2 \\ t \geq 7 \end{bmatrix}$

Вернемся к переменной $x$:

$\begin{bmatrix} x^2 - 6x + 7 \leq 2 \\ x^2 - 6x + 7 \geq 7 \end{bmatrix}$

Решим первое неравенство совокупности:

$x^2 - 6x + 5 \leq 0$

Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Решение неравенства: $x \in [1; 5]$.

Решим второе неравенство совокупности:

$x^2 - 6x \geq 0$

$x(x - 6) \geq 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [6; \infty)$.

Объединим решения двух неравенств: $x \in ((-\infty; 0] \cup [6; \infty)) \cup [1; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [1; 5] \cup [6; \infty)$.

в) $(x^2 + 4x + 2)^2 - 6(x^2 + 4x + 2) - 7 > 0$

Введем замену. Пусть $t = x^2 + 4x + 2$.

Получаем неравенство:

$t^2 - 6t - 7 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = -1$, $t_2 = 7$.

Решение неравенства $t^2 - 6t - 7 > 0$: $t < -1$ или $t > 7$.

Получаем совокупность:

$\begin{bmatrix} x^2 + 4x + 2 < -1 \\ x^2 + 4x + 2 > 7 \end{bmatrix}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 4x + 3 < 0$

Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.

Решение: $x \in (-3; -1)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 4x - 5 > 0$

Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.

Решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; \infty)$.

Объединяя решения, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -1) \cup (1; \infty)$.

г) $(x^2 + 4x + 1)^2 - 7(x^2 + 4x + 1) + 6 \leq 0$

Пусть $t = x^2 + 4x + 1$.

Получаем неравенство:

$t^2 - 7t + 6 \leq 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 6 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$.

Решение неравенства $t^2 - 7t + 6 \leq 0$: $1 \leq t \leq 6$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$1 \leq x^2 + 4x + 1 \leq 6$

Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4x + 1 \geq 1 \\ x^2 + 4x + 1 \leq 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 4x \geq 0$

$x(x + 4) \geq 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Решение: $x \in (-\infty; -4] \cup [0; \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 4x - 5 \leq 0$

Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.

Решение: $x \in [-5; 1]$.

Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty; -4] \cup [0; \infty)) \cap [-5; 1]$.

Пересечением является объединение отрезков $[-5; -4]$ и $[0; 1]$.

Ответ: $x \in [-5; -4] \cup [0; 1]$.

181. а) $x^2 + 4x - 2 - \frac{15}{x^2 + 4x} \le 0;$

б) $x^2 - 6x + 13 + \frac{40}{x^2 - 6x} \le 0;$

в) $x^2 - 6x - 4 - \frac{36}{x^2 - 6x + 5} \ge 0;$

г) $x^2 - 8x + 4 + \frac{24}{x^2 - 8x + 15} \ge 0.$

а) $x^2 + 4x - 2 - \frac{15}{x^2 + 4x} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x^2 + 4x \neq 0$
$x(x+4) \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq -4$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 4x$. Неравенство принимает вид:
$t - 2 - \frac{15}{t} \le 0$

3. Решим полученное неравенство относительно $t$. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{t^2 - 2t - 15}{t} \le 0$
Найдем корни числителя: $t^2 - 2t - 15 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 5, t_2 = -3$.
Неравенство можно записать в виде: $\frac{(t-5)(t+3)}{t} \le 0$.
Решая методом интервалов, находим нули: $t=-3, t=0, t=5$.

Из схемы видно, что решение для $t$: $t \in (-\infty, -3] \cup (0, 5]$.

4. Вернемся к исходной переменной $x$.
Получаем совокупность двух систем неравенств:
$x^2 + 4x \le -3$ или $0 < x^2 + 4x \le 5$.
а) Решим первое неравенство: $x^2 + 4x + 3 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = -3, x_2 = -1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-3, -1]$.
б) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 4x > 0 \\ x^2 + 4x \le 5 \end{cases}$.
$x^2 + 4x > 0 \Rightarrow x(x+4) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.
$x^2 + 4x \le 5 \Rightarrow x^2 + 4x - 5 \le 0$. Корни $x_1 = -5, x_2 = 1$. Решение: $x \in [-5, 1]$.
Пересечение решений системы: $( (-\infty, -4) \cup (0, \infty) ) \cap [-5, 1] = [-5, -4) \cup (0, 1]$.

5. Объединяем полученные решения и учитываем ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -4$):
$[-3, -1] \cup [-5, -4) \cup (0, 1]$.

Ответ: $x \in [-5, -4) \cup [-3, -1] \cup (0, 1]$.

б) $x^2 - 6x + 13 + \frac{40}{x^2 - 6x} \le 0$

1. ОДЗ: $x^2 - 6x \neq 0 \Rightarrow x(x-6) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 6$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$.
$t + 13 + \frac{40}{t} \le 0$

3. Решим неравенство относительно $t$:
$\frac{t^2 + 13t + 40}{t} \le 0$
Корни числителя $t^2 + 13t + 40 = 0$ равны $t_1 = -8, t_2 = -5$.
$\frac{(t+8)(t+5)}{t} \le 0$
Методом интервалов получаем решение для $t$: $t \in (-\infty, -8] \cup [-5, 0)$.

4. Вернемся к переменной $x$.
$x^2 - 6x \le -8$ или $-5 \le x^2 - 6x < 0$.
а) $x^2 - 6x \le -8 \Rightarrow x^2 - 6x + 8 \le 0$. Корни $x_1=2, x_2=4$. Решение: $x \in [2, 4]$.
б) $-5 \le x^2 - 6x < 0$. Это система $\begin{cases} x^2 - 6x < 0 \\ x^2 - 6x \ge -5 \end{cases}$.
$x^2 - 6x < 0 \Rightarrow x(x-6) < 0 \Rightarrow x \in (0, 6)$.
$x^2 - 6x \ge -5 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 \ge 0$. Корни $x_1=1, x_2=5$. Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.
Пересечение решений системы: $(0, 6) \cap ((-\infty, 1] \cup [5, \infty)) = (0, 1] \cup [5, 6)$.

5. Объединяем полученные решения, которые уже удовлетворяют ОДЗ:
$[2, 4] \cup (0, 1] \cup [5, 6)$.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [2, 4] \cup [5, 6)$.

в) $x^2 - 6x - 4 - \frac{36}{x^2 - 6x + 5} \ge 0$

1. ОДЗ: $x^2 - 6x + 5 \neq 0$. Корни $x^2-6x+5=0$ это $x_1=1, x_2=5$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 5$.

2. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 6x$. Неравенство примет вид:
$t - 4 - \frac{36}{t+5} \ge 0$

3. Решим неравенство относительно $t$:
$\frac{(t-4)(t+5) - 36}{t+5} \ge 0$
$\frac{t^2 + t - 20 - 36}{t+5} \ge 0$
$\frac{t^2 + t - 56}{t+5} \ge 0$
Корни числителя $t^2 + t - 56 = 0$: $t_1 = 7, t_2 = -8$.
$\frac{(t-7)(t+8)}{t+5} \ge 0$
Методом интервалов получаем решение для $t$: $t \in [-8, -5) \cup [7, \infty)$.

4. Вернемся к переменной $x$.
$-8 \le x^2 - 6x < -5$ или $x^2 - 6x \ge 7$.
а) $-8 \le x^2 - 6x < -5$. Система $\begin{cases} x^2 - 6x < -5 \\ x^2 - 6x \ge -8 \end{cases}$.
$x^2 - 6x + 5 < 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) < 0 \Rightarrow x \in (1, 5)$.
$x^2 - 6x + 8 \ge 0 \Rightarrow (x-2)(x-4) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.
Пересечение: $(1, 5) \cap ((-\infty, 2] \cup [4, \infty)) = (1, 2] \cup [4, 5)$.
б) $x^2 - 6x \ge 7 \Rightarrow x^2 - 6x - 7 \ge 0$. Корни $x_1=-1, x_2=7$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [7, \infty)$.

5. Объединяем решения, которые уже удовлетворяют ОДЗ:
$(1, 2] \cup [4, 5) \cup (-\infty, -1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (1, 2] \cup [4, 5) \cup [7, \infty)$.

г) $x^2 - 8x + 4 + \frac{24}{x^2 - 8x + 15} \ge 0$

1. ОДЗ: $x^2 - 8x + 15 \neq 0$. Корни $x^2-8x+15=0$ это $x_1=3, x_2=5$. Значит, $x \neq 3$ и $x \neq 5$.

2. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 8x$. Неравенство примет вид:
$t + 4 + \frac{24}{t+15} \ge 0$

3. Решим неравенство относительно $t$:
$\frac{(t+4)(t+15) + 24}{t+15} \ge 0$
$\frac{t^2 + 19t + 60 + 24}{t+15} \ge 0$
$\frac{t^2 + 19t + 84}{t+15} \ge 0$
Корни числителя $t^2 + 19t + 84 = 0$: $t_1 = -7, t_2 = -12$.
$\frac{(t+7)(t+12)}{t+15} \ge 0$
Методом интервалов получаем решение для $t$: $t \in (-15, -12] \cup [-7, \infty)$.

4. Вернемся к переменной $x$.
$-15 < x^2 - 8x \le -12$ или $x^2 - 8x \ge -7$.
а) $-15 < x^2 - 8x \le -12$. Система $\begin{cases} x^2 - 8x > -15 \\ x^2 - 8x \le -12 \end{cases}$.
$x^2 - 8x + 15 > 0 \Rightarrow (x-3)(x-5) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.
$x^2 - 8x + 12 \le 0 \Rightarrow (x-2)(x-6) \le 0 \Rightarrow x \in [2, 6]$.
Пересечение: $( (-\infty, 3) \cup (5, \infty) ) \cap [2, 6] = [2, 3) \cup (5, 6]$.
б) $x^2 - 8x \ge -7 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 \ge 0$. Корни $x_1=1, x_2=7$. Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

5. Объединяем решения, которые уже удовлетворяют ОДЗ:
$[2, 3) \cup (5, 6] \cup (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, 3) \cup (5, 6] \cup [7, \infty)$.

182. а) $ |x+4|^2 - 7|x+4| \ge 0; $

б) $ |x+7|^2 - 4|x+7| \le 0; $

в) $ (x-3)^2 - 5|x-3| + 4 \le 0; $

г) $ (x+2)^2 - 7|x+2| + 12 \le 0. $

а) $|x + 4|^2 - 7|x + 4| \ge 0$

Данное неравенство является квадратным относительно $|x + 4|$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x + 4|$. Так как модуль любого выражения является неотрицательной величиной, то $t \ge 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$t^2 - 7t \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$t(t - 7) \ge 0$

Решим это неравенство для переменной $t$. Корни соответствующего уравнения $t(t-7)=0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 7$. Графиком функции $y=t(t-7)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $t \le 0$ или $t \ge 7$.

Учитывая ограничение $t \ge 0$, получаем, что решение для $t$ — это $t = 0$ или $t \ge 7$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $|x + 4| = 0$. Это уравнение равносильно $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.

2. $|x + 4| \ge 7$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x + 4 \ge 7$ или $x + 4 \le -7$

$x \ge 3$ или $x \le -11$

Объединяем все полученные решения для $x$: $(-\infty, -11]$, $\{-4\}$ и $[3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -11] \cup \{-4\} \cup [3, +\infty)$.

б) $|x + 7|^2 - 4|x + 7| \le 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = |x + 7|$, при этом $t \ge 0$.

Неравенство сводится к следующему:

$t^2 - 4t \le 0$

$t(t - 4) \le 0$

Корни уравнения $t(t-4)=0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $0 \le t \le 4$.

Это решение полностью удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$0 \le |x + 7| \le 4$

Неравенство $|x + 7| \ge 0$ верно для всех действительных чисел $x$. Остается решить неравенство $|x + 7| \le 4$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-4 \le x + 7 \le 4$

Вычтем 7 из всех частей неравенства:

$-4 - 7 \le x \le 4 - 7$

$-11 \le x \le -3$

Ответ: $x \in [-11, -3]$.

в) $(x - 3)^2 - 5|x - 3| + 4 \le 0$

Поскольку для любого действительного числа $a$ верно, что $a^2 = |a|^2$, мы можем переписать неравенство в виде:

$|x - 3|^2 - 5|x - 3| + 4 \le 0$

Сделаем замену $t = |x - 3|$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 5t + 4 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 \le t \le 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

$1 \le |x - 3| \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} |x - 3| \ge 1 \\ |x - 3| \le 4 \end{cases}$

1. Решим $|x - 3| \ge 1$. Оно распадается на совокупность:

$x - 3 \ge 1$ или $x - 3 \le -1$, что дает $x \ge 4$ или $x \le 2$. Решение: $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

2. Решим $|x - 3| \le 4$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-4 \le x - 3 \le 4$, что дает $-1 \le x \le 7$. Решение: $[-1, 7]$.

Итоговое решение является пересечением множеств $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$ и $[-1, 7]$.

Пересечение этих множеств дает объединение двух отрезков: $[-1, 2]$ и $[4, 7]$.

Ответ: $x \in [-1, 2] \cup [4, 7]$.

г) $(x + 2)^2 - 7|x + 2| + 12 \le 0$

Используя свойство $a^2 = |a|^2$, перепишем неравенство:

$|x + 2|^2 - 7|x + 2| + 12 \le 0$

Сделаем замену $t = |x + 2|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 - 7t + 12 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $3 \le t \le 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Сделаем обратную замену:

$3 \le |x + 2| \le 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} |x + 2| \ge 3 \\ |x + 2| \le 4 \end{cases}$

1. Решим $|x + 2| \ge 3$. Оно распадается на совокупность:

$x + 2 \ge 3$ или $x + 2 \le -3$, что дает $x \ge 1$ или $x \le -5$. Решение: $(-\infty, -5] \cup [1, \infty)$.

2. Решим $|x + 2| \le 4$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-4 \le x + 2 \le 4$, что дает $-6 \le x \le 2$. Решение: $[-6, 2]$.

Найдем пересечение решений $(-\infty, -5] \cup [1, \infty)$ и $[-6, 2]$.

Пересечение этих множеств дает объединение двух отрезков: $[-6, -5]$ и $[1, 2]$.

Ответ: $x \in [-6, -5] \cup [1, 2]$.

183. a) $x^2 - 10x + 37 - 7|x - 5| > 0;$
б) $x^2 + 14x + 54 - 6|x + 7| < 0;$
в) $3x^2 + 12x + 14 - 5|x + 2| \le 0;$
г) $2x^2 - 12x + 23 - 7|x - 3| \ge 0.$

а)

Решим неравенство $x^2 - 10x + 37 - 7|x-5| > 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 10x$ связано с $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$. Выделим полный квадрат в левой части неравенства:
$x^2 - 10x + 37 = (x^2 - 10x + 25) + 12 = (x-5)^2 + 12$.

Подставим это в исходное неравенство:
$(x-5)^2 + 12 - 7|x-5| > 0$.

Так как $(x-5)^2 = |x-5|^2$, мы можем переписать неравенство в виде:
$|x-5|^2 - 7|x-5| + 12 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x-5|$. Так как модуль — неотрицательная величина, $t \ge 0$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - 7t + 12 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 7t + 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 7t + 12 > 0$ выполняется при $t < 3$ или $t > 4$.

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем два случая:
1) $0 \le t < 3$
2) $t > 4$

Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $0 \le |x-5| < 3 \implies |x-5| < 3$. Это двойное неравенство: $-3 < x-5 < 3$, откуда, прибавив 5 ко всем частям, получаем $2 < x < 8$.
2) $|x-5| > 4$. Это равносильно совокупности двух неравенств:
$x-5 > 4 \implies x > 9$
$x-5 < -4 \implies x < 1$

Объединяя все найденные решения, получаем: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 8) \cup (9; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 8) \cup (9; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $x^2 + 14x + 54 - 6|x+7| < 0$.

Выделим полный квадрат: $x^2 + 14x + 54 = (x^2 + 14x + 49) + 5 = (x+7)^2 + 5$.

Подставим в неравенство:
$(x+7)^2 + 5 - 6|x+7| < 0$.

Используя свойство $|a|^2 = a^2$, получаем:
$|x+7|^2 - 6|x+7| + 5 < 0$.

Пусть $t = |x+7|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 6t + 5 < 0$.

Корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $1 < t < 5$. Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Возвращаемся к переменной $x$:
$1 < |x+7| < 5$.

Это двойное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} |x+7| > 1 \\ |x+7| < 5 \end{cases}$

1) $|x+7| > 1$ равносильно совокупности $x+7 > 1$ или $x+7 < -1$, то есть $x > -6$ или $x < -8$. Решение: $x \in (-\infty; -8) \cup (-6; +\infty)$.
2) $|x+7| < 5$ равносильно $-5 < x+7 < 5$, то есть $-12 < x < -2$. Решение: $x \in (-12; -2)$.

Найдем пересечение этих двух множеств решений: $x \in ((-12; -2)) \cap ((-\infty; -8) \cup (-6; +\infty))$.
Пересечением является объединение интервалов $(-12; -8) \cup (-6; -2)$.
Ответ: $x \in (-12; -8) \cup (-6; -2)$.

в)

Решим неравенство $3x^2 + 12x + 14 - 5|x+2| \le 0$.

Выделим полный квадрат: $3x^2 + 12x + 14 = 3(x^2 + 4x) + 14 = 3(x^2 + 4x + 4 - 4) + 14 = 3(x+2)^2 - 12 + 14 = 3(x+2)^2 + 2$.

Подставим в неравенство:
$3(x+2)^2 + 2 - 5|x+2| \le 0$.

Заменяя $(x+2)^2$ на $|x+2|^2$, получаем:
$3|x+2|^2 - 5|x+2| + 2 \le 0$.

Пусть $t = |x+2|$, где $t \ge 0$.
$3t^2 - 5t + 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{6}$, откуда $t_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{6}{6} = 1$.

Решение неравенства: $\frac{2}{3} \le t \le 1$. Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Возвращаемся к переменной $x$:
$\frac{2}{3} \le |x+2| \le 1$.

Это равносильно системе:
$\begin{cases} |x+2| \ge \frac{2}{3} \\ |x+2| \le 1 \end{cases}$

1) $|x+2| \ge \frac{2}{3}$ равносильно совокупности $x+2 \ge \frac{2}{3}$ или $x+2 \le -\frac{2}{3}$.
$x \ge \frac{2}{3} - 2 \implies x \ge -\frac{4}{3}$
$x \le -\frac{2}{3} - 2 \implies x \le -\frac{8}{3}$
Решение: $x \in (-\infty; -\frac{8}{3}] \cup [-\frac{4}{3}; +\infty)$.
2) $|x+2| \le 1$ равносильно $-1 \le x+2 \le 1$, откуда $-3 \le x \le -1$. Решение: $x \in [-3; -1]$.

Пересечение множеств $(-\infty; -8/3] \cup [-4/3; +\infty)$ и $[-3; -1]$ дает нам:
$[-3; -8/3] \cup [-4/3; -1]$.
Ответ: $x \in [-3; -8/3] \cup [-4/3; -1]$.

г)

Решим неравенство $2x^2 - 12x + 23 - 7|x-3| \ge 0$.

Выделим полный квадрат: $2x^2 - 12x + 23 = 2(x^2 - 6x) + 23 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 23 = 2(x-3)^2 - 18 + 23 = 2(x-3)^2 + 5$.

Подставим в неравенство:
$2(x-3)^2 + 5 - 7|x-3| \ge 0$.

Перепишем с использованием $|x-3|^2$:
$2|x-3|^2 - 7|x-3| + 5 \ge 0$.

Пусть $t = |x-3|$, где $t \ge 0$.
$2t^2 - 7t + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $2t^2 - 7t + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.
$t_{1,2} = \frac{7 \pm 3}{4}$, откуда $t_1 = \frac{4}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Решением неравенства $2t^2 - 7t + 5 \ge 0$ является $t \le 1$ или $t \ge \frac{5}{2}$.

Учитывая $t \ge 0$, получаем: $0 \le t \le 1$ или $t \ge \frac{5}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:
1) $0 \le |x-3| \le 1 \implies |x-3| \le 1$. Это равносильно $-1 \le x-3 \le 1$, откуда $2 \le x \le 4$.
2) $|x-3| \ge \frac{5}{2}$. Это равносильно совокупности:
$x-3 \ge \frac{5}{2} \implies x \ge 3 + \frac{5}{2} \implies x \ge \frac{11}{2}$
$x-3 \le -\frac{5}{2} \implies x \le 3 - \frac{5}{2} \implies x \le \frac{1}{2}$

Объединяя все найденные решения, получаем: $x \in (-\infty; 1/2] \cup [2; 4] \cup [11/2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; 4] \cup [\frac{11}{2}; +\infty)$.