Страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

165. Как решают нестрогие неравенства?

Нестрогие неравенства — это неравенства, которые содержат знаки «больше или равно» ($ \geq $) или «меньше или равно» ($ \leq $). Решение нестрогого неравенства, например, вида $f(x) \geq g(x)$, заключается в нахождении всех значений переменной $x$, при которых выполняется либо строгое неравенство $f(x) > g(x)$, либо равенство $f(x) = g(x)$.

Таким образом, чтобы решить нестрогое неравенство, нужно объединить решения соответствующего строгого неравенства и соответствующего уравнения.

Общий алгоритм решения нестрогих неравенств (например, методом интервалов для неравенства вида $F(x) \geq 0$) выглядит следующим образом:

1. Найти нули функции. Сначала решают соответствующее уравнение $F(x) = 0$. Найденные корни — это точки, в которых выражение равно нулю. Эти точки являются частью решения и на числовой оси отмечаются закрашенными (сплошными) точками.
2. Определить знаки на интервалах. Нули функции разбивают числовую ось на интервалы. Далее определяют знак выражения $F(x)$ на каждом из этих интервалов.
3. Выбрать нужные интервалы и объединить с нулями. Выбирают те интервалы, знак на которых соответствует знаку неравенства (для $F(x) \geq 0$ — это интервалы со знаком «+»). Решением исходного нестрогого неравенства будет объединение этих интервалов и точек, найденных в первом шаге. При записи ответа это означает, что для граничных точек используются квадратные скобки (например, $[a, b]$).

Пример:

Решим нестрогое неравенство $x^2 - x - 6 \geq 0$.

1. Сначала решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Эти точки — часть решения, так как при $x = -2$ и $x = 3$ выражение равно нулю, что удовлетворяет знаку $\geq$.

2. Нанесем точки $-2$ и $3$ на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

3. Определим знак выражения $x^2 - x - 6$ в каждом интервале. Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает положительные значения на крайних интервалах и отрицательное — на центральном.
Нам нужны значения, где $x^2 - x - 6 \geq 0$, то есть где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -2)$ и $(3, +\infty)$, а также точки $-2$ и $3$.

4. Объединяя интервалы с их границами, получаем итоговый результат в виде объединения замкнутых лучей.

Важное замечание: При решении дробно-рациональных неравенств, например $\frac{A(x)}{B(x)} \geq 0$, необходимо всегда исключать из ответа нули знаменателя (точки, где $B(x)=0$), так как деление на ноль невозможно. В этих точках на числовой оси всегда будут "выколотые" (пустые) точки, а в записи ответа для них будут использоваться круглые скобки.

Ответ: Чтобы решить нестрогое неравенство, нужно найти множество решений соответствующего строгого неравенства и объединить его с множеством решений соответствующего уравнения.

Решите неравенство (166—175):

166. а) $2x - 3 \le 0$;

б) $4x - 3 \ge 0$;

в) $5x - 8 \ge 3x - 1$;

г) $2x - 4 \le 4x - 3$.

а) $2x - 3 \le 0$

Чтобы решить это линейное неравенство, сначала изолируем слагаемое с переменной $x$. Для этого перенесем свободный член $-3$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$2x \le 3$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $2$. Так как $2$ — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{2x}{2} \le \frac{3}{2}$

$x \le 1.5$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до $1.5$, включая число $1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

б) $4x - 3 \ge 0$

Перенесем свободный член $-3$ в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$4x \ge 3$

Разделим обе части на положительный коэффициент $4$, при этом знак неравенства сохраняется:

$\frac{4x}{4} \ge \frac{3}{4}$

$x \ge \frac{3}{4}$

Решением является числовой промежуток от $\frac{3}{4}$ до плюс бесконечности, включая число $\frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}; +\infty)$.

в) $5x - 8 \ge 3x - 1$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а свободные члены — в правой. Для этого вычтем $3x$ из обеих частей и прибавим $8$ к обеим частям:

$5x - 3x \ge -1 + 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$2x \ge 7$

Разделим обе части на $2$. Так как $2 > 0$, знак неравенства не меняется:

$\frac{2x}{2} \ge \frac{7}{2}$

$x \ge 3.5$

Решением является числовой промежуток от $3.5$ до плюс бесконечности, включая число $3.5$.

Ответ: $x \in [3.5; +\infty)$.

г) $2x - 4 \le 4x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую. Чтобы сохранить коэффициент при $x$ положительным, вычтем $2x$ из обеих частей и прибавим $3$ к обеим частям:

$-4 + 3 \le 4x - 2x$

Упростим обе части неравенства:

$-1 \le 2x$

Теперь разделим обе части на $2$. Знак неравенства не изменится:

$\frac{-1}{2} \le x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$x \ge -0.5$

Решением является числовой промежуток от $-0.5$ до плюс бесконечности, включая число $-0.5$.

Ответ: $x \in [-0.5; +\infty)$.

167. a) $x^2 - 12x + 32 \le 0$;

B) $2x^2 + x - 7 \ge 0$;

б) $x^2 + 8x + 12 \le 0$;

г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$.

а) $x^2 - 12x + 32 \le 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 32 = 0$.

Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае $a=1$, $b=-12$, $c=32$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 4}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 12x + 32$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=1 > 0$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=4$ и $x=8$.

Неравенство $x^2 - 12x + 32 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это промежуток между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $4 \le x \le 8$.

Ответ: $x \in [4; 8]$.

б) $x^2 + 8x + 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x + 12 = 0$.
Здесь $a=1$, $b=8$, $c=12$.
Вычислим дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = -2$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Она пересекает ось абсцисс в точках $x=-6$ и $x=-2$.

Неравенство $x^2 + 8x + 12 \le 0$ истинно, когда парабола находится ниже или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая их.

Следовательно, решение неравенства: $-6 \le x \le -2$.

Ответ: $x \in [-6; -2]$.

в) $2x^2 + x - 7 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 7 = 0$.
Здесь $a=2$, $b=1$, $c=-7$.
Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$.
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$).

Неравенство $2x^2 + x - 7 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение представляет собой объединение двух промежутков: $x \le \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$ и $x \ge \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}; +\infty)$.

г) $3x^2 - 5x - 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 1 = 0$.
Здесь $a=3$, $b=-5$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 25 + 12 = 37$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{37}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 5x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).

Неравенство $3x^2 - 5x - 1 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси абсцисс, то есть между корнями, включая их.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{5 - \sqrt{37}}{6} \le x \le \frac{5 + \sqrt{37}}{6}$.

Ответ: $x \in [\frac{5 - \sqrt{37}}{6}; \frac{5 + \sqrt{37}}{6}]$.

168. a) $-x^2 + 2x - 1 \ge 0;$

б) $-x^2 + 4x - 4 \le 0;$

в) $3x^2 + 18x + 27 \le 0;$

г) $2x^2 - 20x + 50 \ge 0.$

а)

Решим неравенство $-x^2 + 2x - 1 \ge 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 + 2x - 1) \le (-1) \cdot 0$

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Получаем неравенство:

$(x - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в том случае, если $(x - 1)^2 = 0$.

Решим это уравнение:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $1$

б)

Решим неравенство $-x^2 + 4x - 4 \le 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 4x + 4 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

Получаем неравенство:

$(x - 2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

в)

Решим неравенство $3x^2 + 18x + 27 \le 0$.

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Выражение в левой части является полным квадратом суммы:

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Получаем неравенство:

$(x + 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 \le 0$ выполняется только при условии, что $(x + 3)^2 = 0$.

Решим уравнение:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Ответ: $-3$

г)

Решим неравенство $2x^2 - 20x + 50 \ge 0$.

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется:

$x^2 - 10x + 25 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

Получаем неравенство:

$(x - 5)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, это неравенство справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

169. a) $x^2 - 3x + 5 \ge 0;$

в) $8x^2 - x + 1 \le 0;$

б) $x^2 + 7x - 10 \le 0;$

г) $4x^2 - 5x + 6 \ge 0.$

a) Для решения неравенства $x^2 - 3x + 5 \ge 0$ рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 5$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 - 3x + 5 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, она полностью расположена выше оси абсцисс. Следовательно, значение выражения $x^2 - 3x + 5$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.

Таким образом, неравенство $x^2 - 3x + 5 \ge 0$ выполняется при всех $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Для решения неравенства $x^2 + 7x + 10 \le 0$ рассмотрим функцию $y = x^2 + 7x + 10$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-5$ и $x=-2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-5; -2]$.

в) Для решения неравенства $8x^2 - x + 1 \le 0$ рассмотрим функцию $y = 8x^2 - x + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=8>0$).

Найдем корни уравнения $8x^2 - x + 1 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 1 - 32 = -31$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви направлены вверх, парабола целиком находится выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $8x^2 - x + 1$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $8x^2 - x + 1 \le 0$ не может быть выполнено ни при каких значениях $x$.

Ответ: решений нет.

г) Для решения неравенства $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$ рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 5x + 6$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4>0$).

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 - 96 = -71$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$ и, так как ее ветви направлены вверх, она полностью расположена выше оси $Ox$. Значит, выражение $4x^2 - 5x + 6$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

170. a) $(x^2 - 1)(x + 3) \ge 0;$

б) $(7 - x)(4 - x^2) \le 0;$

в) $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \ge 0;$

г) $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \le 0.$

а) Решим неравенство $(x^2 - 1)(x + 3) \geq 0$.

Разложим множитель $(x^2 - 1)$ на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Неравенство примет вид: $(x - 1)(x + 1)(x + 3) \geq 0$.

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3)$, приравняв каждый множитель к нулю:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале $(1; +\infty)$ при $x=2$ все множители положительны, значит, произведение положительно. Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Расставим знаки на интервалах справа налево: `+`, `-`, `+`, `-`.

Нам нужно найти промежутки, где выражение не отрицательно, то есть $f(x) \geq 0$. Это интервалы со знаком `+` и сами точки-нули. Таким образом, решением является объединение промежутков.

Ответ: $[-3; -1] \cup [1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(7 - x)(4 - x^2) \leq 0$.

Для удобства приведем множители к стандартному виду $(x-a)$.
$7 - x = -(x - 7)$
$4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$

Подставим в неравенство:
$(-(x - 7)) \cdot (-(x - 2)(x + 2)) \leq 0$
$(x - 7)(x - 2)(x + 2) \leq 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули левой части:
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 7$.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки в получившихся интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 7)$, $(7; +\infty)$. В крайнем правом интервале выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются. Расставим знаки справа налево: `+`, `-`, `+`, `-`.

Мы ищем решения неравенства $\leq 0$, что соответствует интервалам со знаком `-` и самим точкам-нулям.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; 7]$.

в) Решим неравенство $(12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) \geq 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Неравенство принимает вид: $(12 - 5x)(x - 2)^2 \geq 0$.

Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен (то есть $\geq 0$) при любом $x$.
1. Если $(x - 2)^2 = 0$, то есть $x = 2$, неравенство превращается в $(12 - 5 \cdot 2)(2 - 2)^2 \geq 0$, что равно $2 \cdot 0 \geq 0$, или $0 \geq 0$. Это верное утверждение, значит, $x = 2$ является решением.
2. Если $(x - 2)^2 > 0$, то есть $x \neq 2$, мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $(x-2)^2$, не меняя знака неравенства. Получим: $12 - 5x \geq 0$.
Решим это линейное неравенство: $12 \geq 5x$, откуда $x \leq \frac{12}{5}$ или $x \leq 2.4$.

Объединяем полученные результаты: $x \leq 2.4$. Точка $x=2$ уже входит в этот промежуток.

Ответ: $(-\infty; 2.4]$.

г) Решим неравенство $(x^2 - 5x + 6)(x - 3) \leq 0$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Его корни по теореме Виета равны 2 и 3, так как $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$.
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим в исходное неравенство:
$(x - 2)(x - 3)(x - 3) \leq 0$
$(x - 2)(x - 3)^2 \leq 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Обратим внимание, что корень $x=3$ имеет кратность 2 (четную), а корень $x=2$ имеет кратность 1 (нечетную).

Отметим точки на числовой оси и определим знаки. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ при $x=4$ выражение $(4-2)(4-3)^2 = 2 \cdot 1 > 0$ положительно.
При переходе через корень $x=3$ (четная кратность) знак не меняется. Значит, в интервале $(2; 3)$ знак тоже `+`.
При переходе через корень $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на противоположный. Значит, в интервале $(-\infty; 2)$ знак `-`.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение $\leq 0$. Это интервал со знаком `-` и точки, где выражение равно нулю.
Выражение отрицательно при $x \in (-\infty; 2)$.
Выражение равно нулю при $x=2$ и $x=3$.
Объединяя эти результаты, получаем решение.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup \{3\}$.

171. a) $\frac{1}{x-1} \ge 0$;

б) $\frac{5}{2-x} \le 0$;

в) $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0$;

г) $\frac{3-4x}{5+x} \le 0$.

a) Решим неравенство $\frac{1}{x-1} \ge 0$.

Данная дробь будет больше или равна нулю, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби равен 1, что является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть строго положительным (знаменатель не может быть равен нулю).

Получаем простое неравенство:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Решением является интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{5}{2-x} \le 0$.

Данная дробь будет меньше или равна нулю, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель дроби равен 5, что является положительным числом. Следовательно, для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго отрицательным (знаменатель не может быть равен нулю).

Получаем неравенство:

$2 - x < 0$

$-x < -2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 2$

Решением является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x-8}{2x+3} \ge 0$.

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет входить в решение (закрашенная точка на числовой оси).

2. Нуль знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$. Эта точка не входит в область допустимых значений (знаменатель не может быть равен нулю), поэтому она всегда будет исключена из решения (выколотая точка на числовой оси).

3. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах:

Интервалы: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 8]$, $[8; +\infty)$.
Возьмем пробную точку из интервала $(8; +\infty)$, например $x=10$: $\frac{10-8}{2(10)+3} = \frac{2}{23} > 0$. Знак "+".
Возьмем пробную точку из интервала $(-1.5; 8]$, например $x=0$: $\frac{0-8}{2(0)+3} = \frac{-8}{3} < 0$. Знак "−".
Возьмем пробную точку из интервала $(-\infty; -1.5)$, например $x=-2$: $\frac{-2-8}{2(-2)+3} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Знак "+".

4. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Это интервалы $(-\infty; -1.5)$ и $[8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup [8; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{3-4x}{5+x} \le 0$.

Используем метод интервалов.

1. Найдем нуль числителя: $3 - 4x = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4} = 0.75$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение.

2. Найдем нуль знаменателя: $5 + x = 0 \implies x = -5$. Эта точка всегда исключается из решения.

3. Отметим точки на числовой оси и определим знаки выражения в интервалах:

Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0.75]$, $[0.75; +\infty)$.
Возьмем пробную точку из интервала $[0.75; +\infty)$, например $x=1$: $\frac{3-4(1)}{5+1} = \frac{-1}{6} < 0$. Знак "−".
Возьмем пробную точку из интервала $(-5; 0.75]$, например $x=0$: $\frac{3-4(0)}{5+0} = \frac{3}{5} > 0$. Знак "+".
Возьмем пробную точку из интервала $(-\infty; -5)$, например $x=-6$: $\frac{3-4(-6)}{5-6} = \frac{3+24}{-1} = -27 < 0$. Знак "−".

4. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак "−").

Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $[0.75; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [0.75; +\infty)$.

172. a) $ \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \ge 0; $

б) $ \frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \ge 0; $

в) $ 1 - x \ge \frac{1}{x - 3}; $

г) $ \frac{5}{x} - 4 \le \frac{2x + 3}{x - 1}. $

а)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} \geq 0 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $ x^2 - 9 \neq 0 $. Решая это уравнение, получаем $ (x-3)(x+3) \neq 0 $, откуда $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель. Для числителя $ x^2 - 4x + 3 $ найдем корни уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $. Таким образом, $ x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) $.

Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) $.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$ \frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \geq 0 $

Так как из ОДЗ мы знаем, что $ x \neq 3 $, мы можем сократить дробь на множитель $ (x-3) $, не забывая об этом ограничении. Неравенство упрощается до:

$ \frac{x-1}{x+3} \geq 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отметим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $ x=1 $ (корень числителя, точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое) и $ x=-3 $ (корень знаменателя, точка будет выколотой).

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $ (-\infty, -3) $, $ (-3, 1) $, $ (1, \infty) $. Определим знак дроби в каждом интервале:

- на интервале $ (-\infty, -3) $, например при $ x=-4 $, дробь $ \frac{-4-1}{-4+3} = 5 > 0 $. Знак «+».

- на интервале $ (-3, 1) $, например при $ x=0 $, дробь $ \frac{0-1}{0+3} = -\frac{1}{3} < 0 $. Знак «-».

- на интервале $ (1, \infty) $, например при $ x=2 $, дробь $ \frac{2-1}{2+3} = \frac{1}{5} > 0 $. Знак «+».

Нам нужны интервалы со знаком «+», а также точка, где выражение равно нулю. Решением неравенства $ \frac{x-1}{x+3} \geq 0 $ является $ x \in (-\infty, -3) \cup [1, \infty) $.

Теперь вспомним про ограничение $ x \neq 3 $, которое мы учли ранее. Число 3 попадает в промежуток $ [1, \infty) $, поэтому его необходимо исключить. Окончательное решение: $ x \in (-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty) $.

Ответ: $ (-\infty, -3) \cup [1, 3) \cup (3, \infty) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 7x + 10}{25 - x^2} \geq 0 $.

ОДЗ: знаменатель $ 25 - x^2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $ x^2 - 7x + 10 = 0 $. Корни по теореме Виета: $ x_1 = 2, x_2 = 5 $. Значит, $ x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5) $.

Знаменатель: $ 25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5) $.

Подставим в неравенство:

$ \frac{(x-2)(x-5)}{-(x-5)(x+5)} \geq 0 $

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$ \frac{(x-2)(x-5)}{(x-5)(x+5)} \leq 0 $

Сократим дробь на $ (x-5) $, помня, что $ x \neq 5 $:

$ \frac{x-2}{x+5} \leq 0 $

Решим методом интервалов. Корни: $ x=2 $ (числитель, точка закрашенная) и $ x=-5 $ (знаменатель, точка выколотая).

Интервалы: $ (-\infty, -5) $, $ (-5, 2) $, $ (2, \infty) $. Определим знаки:

- на интервале $ (-\infty, -5) $: знак «+».

- на интервале $ (-5, 2) $: знак «-».

- на интервале $ (2, \infty) $: знак «+».

Нам нужен интервал со знаком «-» и точка, где выражение равно нулю. Это промежуток $ (-5, 2] $.

Проверим ограничения из ОДЗ: $ x \neq 5 $ и $ x \neq -5 $. Точка -5 уже исключена, а точка 5 не входит в полученный промежуток. Следовательно, решение окончательное.

Ответ: $ (-5, 2] $.

в)

Решим неравенство $ 1 - x \geq \frac{1}{x - 3} $.

ОДЗ: $ x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 1 - x - \frac{1}{x - 3} \geq 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(1-x)(x-3) - 1}{x - 3} \geq 0 $

$ \frac{x - 3 - x^2 + 3x - 1}{x - 3} \geq 0 $

$ \frac{-x^2 + 4x - 4}{x - 3} \geq 0 $

Вынесем минус из числителя:

$ \frac{-(x^2 - 4x + 4)}{x - 3} \geq 0 $

Числитель является полным квадратом: $ x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 $.

$ \frac{-(x-2)^2}{x - 3} \geq 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{(x-2)^2}{x - 3} \leq 0 $

Выражение $ (x-2)^2 $ всегда неотрицательно ($ \geq 0 $). Дробь будет меньше или равна нулю в двух случаях:

1. Дробь равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель нет. $ (x-2)^2 = 0 \implies x=2 $. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($ 2 \neq 3 $), значит $ x=2 $ является решением.

2. Дробь меньше нуля. Так как числитель $ (x-2)^2 $ всегда положителен при $ x \neq 2 $, то для отрицательности дроби знаменатель должен быть отрицательным: $ x - 3 < 0 \implies x < 3 $.

Объединяя оба случая ($ x=2 $ и $ x < 3 $), получаем решение $ x \in (-\infty, 3) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (-\infty, 3) $.

г)

Решим неравенство $ \frac{5}{x} - 4 \leq \frac{2x + 3}{x - 1} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x - 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{5}{x} - 4 - \frac{2x + 3}{x - 1} \leq 0 $

Приведем к общему знаменателю $ x(x-1) $:

$ \frac{5(x-1) - 4x(x-1) - x(2x+3)}{x(x-1)} \leq 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{5x - 5 - 4x^2 + 4x - 2x^2 - 3x}{x(x-1)} \leq 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-6x^2 + 6x - 5}{x(x-1)} \leq 0 $

Рассмотрим числитель $ -6x^2 + 6x - 5 $. Найдем его корни, решив уравнение $ -6x^2 + 6x - 5 = 0 $ или $ 6x^2 - 6x + 5 = 0 $. Дискриминант $ D = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 36 - 120 = -84 $.

Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=6 > 0 $ у параболы $ y = 6x^2 - 6x + 5 $, она полностью лежит выше оси Ox, то есть $ 6x^2 - 6x + 5 > 0 $ для любого $ x $. Следовательно, числитель исходной дроби $ -6x^2 + 6x - 5 = -(6x^2 - 6x + 5) $ всегда отрицателен.

Наше неравенство $ \frac{\text{отрицательное число}}{x(x-1)} \leq 0 $ равносильно тому, что знаменатель должен быть строго положителен (дробь не может быть равна нулю, так как числитель в ноль не обращается):

$ x(x-1) > 0 $

Решим это простое квадратное неравенство. Корни $ x=0 $ и $ x=1 $. Ветви параболы $ y=x(x-1) $ направлены вверх, значит, она положительна вне интервала между корнями.

Решение: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $ и $ x \neq 1 $).

Ответ: $ (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

173. a) $|x| \le 3$;

б) $|x| \ge 4$;

в) $|x - 3| \le 5$;

г) $|x - 6| \ge 1$;

д) $|x + 4| \ge 2$;

e) $|x + 2| \le 4$.

а) $|x| \le 3$

Данное неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой не превышает 3. Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно системе неравенств $-a \le f(x) \le a$. В нашем случае $f(x) = x$ и $a = 3$. Следовательно, неравенство $|x| \le 3$ эквивалентно двойному неравенству:

$-3 \le x \le 3$

Это означает, что $x$ принадлежит отрезку от -3 до 3, включая концы.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.

б) $|x| \ge 4$

Данное неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой не меньше 4. Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$. В данном случае $f(x) = x$ и $a = 4$. Следовательно, неравенство $|x| \ge 4$ распадается на два случая:

$x \ge 4$ или $x \le -4$

Решением является объединение двух промежутков: луча от 4 до плюс бесконечности и луча от минус бесконечности до -4, включая граничные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

в) $|x - 3| \le 5$

Используем правило для неравенств с модулем вида $|f(x)| \le a$, что равносильно $-a \le f(x) \le a$. Здесь $f(x) = x - 3$ и $a = 5$. Получаем двойное неравенство:

$-5 \le x - 3 \le 5$

Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-5 + 3 \le x - 3 + 3 \le 5 + 3$

$-2 \le x \le 8$

Решением является отрезок от -2 до 8, включая концы.

Ответ: $x \in [-2, 8]$.

г) $|x - 6| \ge 1$

Используем правило для неравенств с модулем вида $|f(x)| \ge a$, что равносильно совокупности $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$. Здесь $f(x) = x - 6$ и $a = 1$. Получаем совокупность двух неравенств:

$x - 6 \ge 1$ или $x - 6 \le -1$

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) $x - 6 \ge 1 \implies x \ge 1 + 6 \implies x \ge 7$

2) $x - 6 \le -1 \implies x \le -1 + 6 \implies x \le 5$

Объединяя решения, получаем множество всех чисел, которые меньше или равны 5, или больше или равны 7.

Ответ: $x \in (-\infty, 5] \cup [7, \infty)$.

д) $|x + 4| \ge 2$

Применяем правило для неравенств вида $|f(x)| \ge a$. Здесь $f(x) = x + 4$ и $a = 2$. Получаем совокупность:

$x + 4 \ge 2$ или $x + 4 \le -2$

Решаем каждое неравенство:

1) $x + 4 \ge 2 \implies x \ge 2 - 4 \implies x \ge -2$

2) $x + 4 \le -2 \implies x \le -2 - 4 \implies x \le -6$

Решением является объединение полученных промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-2, \infty)$.

е) $|x + 2| \le 4$

Применяем правило для неравенств вида $|f(x)| \le a$. Здесь $f(x) = x + 2$ и $a = 4$. Получаем двойное неравенство:

$-4 \le x + 2 \le 4$

Вычтем 2 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-4 - 2 \le x + 2 - 2 \le 4 - 2$

$-6 \le x \le 2$

Решением является отрезок от -6 до 2, включая концы.

Ответ: $x \in [-6, 2]$.

174. a) $1 \le |x - 2| \le 4;$

б) $5 \le |x - 3| \le 7;$

B) $1 < |x + 2| \le 3;$

г) $3 \le |x + 4| < 5.$

а) Решим двойное неравенство $1 \le |x - 2| \le 4$.

Это неравенство равносильно совокупности (объединению решений) двух двойных неравенств:

1) $1 \le x - 2 \le 4$

2) $-4 \le x - 2 \le -1$

Решим первое неравенство. Для этого прибавим 2 ко всем его частям:

$1 + 2 \le x - 2 + 2 \le 4 + 2$

$3 \le x \le 6$

Решением является промежуток $x \in [3, 6]$.

Решим второе неравенство. Также прибавим 2 ко всем его частям:

$-4 + 2 \le x - 2 + 2 \le -1 + 2$

$-2 \le x \le 1$

Решением является промежуток $x \in [-2, 1]$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение неравенства.

Ответ: $x \in [-2, 1] \cup [3, 6]$.

б) Решим двойное неравенство $5 \le |x - 3| \le 7$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств:

1) $5 \le x - 3 \le 7$

2) $-7 \le x - 3 \le -5$

Решим первое неравенство. Прибавим 3 ко всем его частям:

$5 + 3 \le x - 3 + 3 \le 7 + 3$

$8 \le x \le 10$

Решением является промежуток $x \in [8, 10]$.

Решим второе неравенство. Также прибавим 3 ко всем его частям:

$-7 + 3 \le x - 3 + 3 \le -5 + 3$

$-4 \le x \le -2$

Решением является промежуток $x \in [-4, -2]$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение.

Ответ: $x \in [-4, -2] \cup [8, 10]$.

в) Решим двойное неравенство $1 < |x + 2| \le 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств:

1) $1 < x + 2 \le 3$

2) $-3 \le x + 2 < -1$

Решим первое неравенство. Вычтем 2 из всех его частей:

$1 - 2 < x + 2 - 2 \le 3 - 2$

$-1 < x \le 1$

Решением является полуинтервал $x \in (-1, 1]$.

Решим второе неравенство. Также вычтем 2 из всех его частей:

$-3 - 2 \le x + 2 - 2 < -1 - 2$

$-5 \le x < -3$

Решением является полуинтервал $x \in [-5, -3)$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение.

Ответ: $x \in [-5, -3) \cup (-1, 1]$.

г) Решим двойное неравенство $3 \le |x + 4| < 5$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств:

1) $3 \le x + 4 < 5$

2) $-5 < x + 4 \le -3$

Решим первое неравенство. Вычтем 4 из всех его частей:

$3 - 4 \le x + 4 - 4 < 5 - 4$

$-1 \le x < 1$

Решением является полуинтервал $x \in [-1, 1)$.

Решим второе неравенство. Также вычтем 4 из всех его частей:

$-5 - 4 < x + 4 - 4 \le -3 - 4$

$-9 < x \le -7$

Решением является полуинтервал $x \in (-9, -7]$.

Объединяя полученные промежутки, находим окончательное решение.

Ответ: $x \in (-9, -7] \cup [-1, 1)$.

175. а) $|x^2 - 6x + 7| \geq 2;$

б) $|x^2 - 9x + 19| \leq 1;$

в) $2 \leq |x^2 - 2x - 1| < 7;$

г) $3 < |2x^2 - 8x + 3| \leq 13.$

а) $|x^2 - 6x + 7| \ge 2$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
Применим это правило к нашему случаю:

1) $x^2 - 6x + 7 \ge 2$
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 5$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

2) $x^2 - 6x + 7 \le -2$
$x^2 - 6x + 9 \le 0$
$(x - 3)^2 \le 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x-3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ выполняется только в одном случае, когда $(x-3)^2 = 0$, то есть $x = 3$.

Объединяем решения обоих случаев: $(-\infty, 1] \cup [5, \infty)$ и $\{3\}$.
Получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{3\} \cup [5, \infty)$.

б) $|x^2 - 9x + 19| \le 1$

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.
Применим это правило:

$-1 \le x^2 - 9x + 19 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:
$\begin{cases} x^2 - 9x + 19 \ge -1 \\ x^2 - 9x + 19 \le 1 \end{cases}$

1) Решим первое неравенство:
$x^2 - 9x + 20 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ равны $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, \infty)$.

2) Решим второе неравенство:
$x^2 - 9x + 18 \le 0$
Корни уравнения $x^2 - 9x + 18 = 0$ равны $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [3, 6]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, 4] \cup [5, \infty)) \cap [3, 6]$.
Пересечение интервала $[3, 6]$ с $(-\infty, 4]$ дает $[3, 4]$.
Пересечение интервала $[3, 6]$ с $[5, \infty)$ дает $[5, 6]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [3, 4] \cup [5, 6]$.

в) $2 \le |x^2 - 2x - 1| < 7$

Данное двойное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) $2 \le x^2 - 2x - 1 < 7$
2) $-7 < x^2 - 2x - 1 \le -2$

Решим первую систему: $\begin{cases} x^2 - 2x - 1 \ge 2 \\ x^2 - 2x - 1 < 7 \end{cases}$
a) $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = 3$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
b) $x^2 - 2x - 8 < 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = 4$. Решение: $x \in (-2, 4)$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x \in (-2, -1] \cup [3, 4)$.

Решим вторую систему: $\begin{cases} x^2 - 2x - 1 > -7 \\ x^2 - 2x - 1 \le -2 \end{cases}$
a) $x^2 - 2x + 6 > 0$. Дискриминант $D = 4 - 24 = -20 < 0$. Ветви параболы вверх, значит, неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
b) $x^2 - 2x + 1 \le 0$, или $(x-1)^2 \le 0$. Это верно только при $x=1$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x = 1$.

Итоговое решение является объединением решений обеих систем.
Ответ: $x \in (-2, -1] \cup \{1\} \cup [3, 4)$.

г) $3 < |2x^2 - 8x + 3| \le 13$

Данное двойное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) $3 < 2x^2 - 8x + 3 \le 13$
2) $-13 \le 2x^2 - 8x + 3 < -3$

Решим первую систему: $\begin{cases} 2x^2 - 8x + 3 > 3 \\ 2x^2 - 8x + 3 \le 13 \end{cases}$
a) $2x^2 - 8x > 0 \implies 2x(x - 4) > 0$. Корни $x_1=0, x_2=4$. Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
b) $2x^2 - 8x - 10 \le 0 \implies x^2 - 4x - 5 \le 0$. Корни $x_1=-1, x_2=5$. Решение: $x \in [-1, 5]$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x \in [-1, 0) \cup (4, 5]$.

Решим вторую систему: $\begin{cases} 2x^2 - 8x + 3 \ge -13 \\ 2x^2 - 8x + 3 < -3 \end{cases}$
a) $2x^2 - 8x + 16 \ge 0 \implies x^2 - 4x + 8 \ge 0$. Дискриминант $D = 16-32 = -16 < 0$. Ветви вверх, значит, неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
b) $2x^2 - 8x + 6 < 0 \implies x^2 - 4x + 3 < 0$. Корни $x_1=1, x_2=3$. Решение: $x \in (1, 3)$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x \in (1, 3)$.

Итоговое решение является объединением решений обеих систем.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (1, 3) \cup (4, 5]$.