Номер 169, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

169. a) $x^2 - 3x + 5 \ge 0;$

в) $8x^2 - x + 1 \le 0;$

б) $x^2 + 7x - 10 \le 0;$

г) $4x^2 - 5x + 6 \ge 0.$

a) Для решения неравенства $x^2 - 3x + 5 \ge 0$ рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 5$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 - 3x + 5 = 0$. Для этого вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, она полностью расположена выше оси абсцисс. Следовательно, значение выражения $x^2 - 3x + 5$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.

Таким образом, неравенство $x^2 - 3x + 5 \ge 0$ выполняется при всех $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Для решения неравенства $x^2 + 7x + 10 \le 0$ рассмотрим функцию $y = x^2 + 7x + 10$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=-5$ и $x=-2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-5; -2]$.

в) Для решения неравенства $8x^2 - x + 1 \le 0$ рассмотрим функцию $y = 8x^2 - x + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=8>0$).

Найдем корни уравнения $8x^2 - x + 1 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 1 - 32 = -31$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви направлены вверх, парабола целиком находится выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $8x^2 - x + 1$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $8x^2 - x + 1 \le 0$ не может быть выполнено ни при каких значениях $x$.

Ответ: решений нет.

г) Для решения неравенства $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$ рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 5x + 6$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4>0$).

Найдем корни уравнения $4x^2 - 5x + 6 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 - 96 = -71$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$ и, так как ее ветви направлены вверх, она полностью расположена выше оси $Ox$. Значит, выражение $4x^2 - 5x + 6$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $4x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.