Номер 175, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

175. а) $|x^2 - 6x + 7| \geq 2;$

б) $|x^2 - 9x + 19| \leq 1;$

в) $2 \leq |x^2 - 2x - 1| < 7;$

г) $3 < |2x^2 - 8x + 3| \leq 13.$

а) $|x^2 - 6x + 7| \ge 2$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
Применим это правило к нашему случаю:

1) $x^2 - 6x + 7 \ge 2$
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 5$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

2) $x^2 - 6x + 7 \le -2$
$x^2 - 6x + 9 \le 0$
$(x - 3)^2 \le 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x-3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ выполняется только в одном случае, когда $(x-3)^2 = 0$, то есть $x = 3$.

Объединяем решения обоих случаев: $(-\infty, 1] \cup [5, \infty)$ и $\{3\}$.
Получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{3\} \cup [5, \infty)$.

б) $|x^2 - 9x + 19| \le 1$

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.
Применим это правило:

$-1 \le x^2 - 9x + 19 \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:
$\begin{cases} x^2 - 9x + 19 \ge -1 \\ x^2 - 9x + 19 \le 1 \end{cases}$

1) Решим первое неравенство:
$x^2 - 9x + 20 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ равны $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, \infty)$.

2) Решим второе неравенство:
$x^2 - 9x + 18 \le 0$
Корни уравнения $x^2 - 9x + 18 = 0$ равны $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [3, 6]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, 4] \cup [5, \infty)) \cap [3, 6]$.
Пересечение интервала $[3, 6]$ с $(-\infty, 4]$ дает $[3, 4]$.
Пересечение интервала $[3, 6]$ с $[5, \infty)$ дает $[5, 6]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [3, 4] \cup [5, 6]$.

в) $2 \le |x^2 - 2x - 1| < 7$

Данное двойное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) $2 \le x^2 - 2x - 1 < 7$
2) $-7 < x^2 - 2x - 1 \le -2$

Решим первую систему: $\begin{cases} x^2 - 2x - 1 \ge 2 \\ x^2 - 2x - 1 < 7 \end{cases}$
a) $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = 3$. Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
b) $x^2 - 2x - 8 < 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = 4$. Решение: $x \in (-2, 4)$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x \in (-2, -1] \cup [3, 4)$.

Решим вторую систему: $\begin{cases} x^2 - 2x - 1 > -7 \\ x^2 - 2x - 1 \le -2 \end{cases}$
a) $x^2 - 2x + 6 > 0$. Дискриминант $D = 4 - 24 = -20 < 0$. Ветви параболы вверх, значит, неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
b) $x^2 - 2x + 1 \le 0$, или $(x-1)^2 \le 0$. Это верно только при $x=1$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x = 1$.

Итоговое решение является объединением решений обеих систем.
Ответ: $x \in (-2, -1] \cup \{1\} \cup [3, 4)$.

г) $3 < |2x^2 - 8x + 3| \le 13$

Данное двойное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
1) $3 < 2x^2 - 8x + 3 \le 13$
2) $-13 \le 2x^2 - 8x + 3 < -3$

Решим первую систему: $\begin{cases} 2x^2 - 8x + 3 > 3 \\ 2x^2 - 8x + 3 \le 13 \end{cases}$
a) $2x^2 - 8x > 0 \implies 2x(x - 4) > 0$. Корни $x_1=0, x_2=4$. Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
b) $2x^2 - 8x - 10 \le 0 \implies x^2 - 4x - 5 \le 0$. Корни $x_1=-1, x_2=5$. Решение: $x \in [-1, 5]$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x \in [-1, 0) \cup (4, 5]$.

Решим вторую систему: $\begin{cases} 2x^2 - 8x + 3 \ge -13 \\ 2x^2 - 8x + 3 < -3 \end{cases}$
a) $2x^2 - 8x + 16 \ge 0 \implies x^2 - 4x + 8 \ge 0$. Дискриминант $D = 16-32 = -16 < 0$. Ветви вверх, значит, неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
b) $2x^2 - 8x + 6 < 0 \implies x^2 - 4x + 3 < 0$. Корни $x_1=1, x_2=3$. Решение: $x \in (1, 3)$.
Пересечение решений a) и b) дает: $x \in (1, 3)$.

Итоговое решение является объединением решений обеих систем.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (1, 3) \cup (4, 5]$.