Номер 177, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

177. a) $$\begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} < 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \ge 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} |x| < 2 \\ (x-3)(x-2) \ge 0 \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} |x| > 4 \\ (x+5)(x-4) \le 0 \end{cases}$$

a) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} < 0, \\ x+3 \ge 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $ \frac{(x+2)(x-1)}{x+1} < 0 $ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $ (x+2)(x-1) = 0 $, откуда $ x_1 = -2, x_2 = 1 $.
Найдем нуль знаменателя (точка разрыва): $ x+1 = 0 $, откуда $ x_3 = -1 $.
Нанесем эти точки ($ -2, -1, 1 $) на числовую ось. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.
Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.
- При $ x > 1 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
- При $ -1 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $.
- При $ -2 < x < -1 $ (например, $ x=-1.5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $.
- При $ x < -2 $ (например, $ x=-3 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 1) $.

2. Решим второе неравенство: $ x+3 \ge 0 $.
$ x \ge -3 $.
Решение второго неравенства: $ x \in [-3; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть $ ((-\infty; -2) \cup (-1; 1)) \cap [-3; +\infty) $.
Пересечение множества $ [-3; +\infty) $ с $ (-\infty; -2) $ дает интервал $ [-3; -2) $.
Пересечение множества $ [-3; +\infty) $ с $ (-1; 1) $ дает интервал $ (-1; 1) $.
Объединив полученные интервалы, получаем итоговое решение системы.
Ответ: $ x \in [-3; -2) \cup (-1; 1) $.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \ge 0, \\ x+2 > 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $ \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \ge 0 $ методом интервалов.
Найдем нули числителя: $ (x-2)(x+3) = 0 $, откуда $ x_1 = 2, x_2 = -3 $. Эти точки включаем в решение, так как неравенство нестрогое.
Найдем нуль знаменателя: $ x-1 = 0 $, откуда $ x_3 = 1 $. Эту точку исключаем.
Нанесем точки на числовую ось: $ -3 $ (закрашенная), $ 1 $ (выколотая), $ 2 $ (закрашенная).
Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -3]$, $[-3; 1)$, $(1; 2]$, $[2; +\infty)$.
- При $ x > 2 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
- При $ 1 < x < 2 $ (например, $ x=1.5 $): $ \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 $.
- При $ -3 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 $.
- При $ x < -3 $ (например, $ x=-4 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.
Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Решение первого неравенства: $ x \in [-3; 1) \cup [2; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ x+2 > 0 $.
$ x > -2 $.
Решение второго неравенства: $ x \in (-2; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ ([-3; 1) \cup [2; +\infty)) \cap (-2; +\infty) $.
Пересечение $ (-2; +\infty) $ с $ [-3; 1) $ дает интервал $ (-2; 1) $.
Пересечение $ (-2; +\infty) $ с $ [2; +\infty) $ дает интервал $ [2; +\infty) $.
Объединяем результаты.
Ответ: $ x \in (-2; 1) \cup [2; +\infty) $.

в) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |x| < 2, \\ (x-3)(x-2) \ge 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ |x| < 2 $.
Это неравенство равносильно системе $ -2 < x < 2 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (-2; 2) $.

2. Решим второе неравенство: $ (x-3)(x-2) \ge 0 $.
Это квадратичное неравенство. Графиком функции $ y = (x-3)(x-2) $ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $ x=2 $ и $ x=3 $.
Неравенство $ y \ge 0 $ выполняется, когда $ x $ находится вне отрезка между корнями (включая сами корни).
Решение второго неравенства: $ x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty) $.

3. Найдем пересечение решений: $ (-2; 2) \cap ((-\infty; 2] \cup [3; +\infty)) $.
Разобьем на два пересечения:
- $ (-2; 2) \cap (-\infty; 2] = (-2; 2) $. Точка $ x=2 $ не входит в первый интервал.
- $ (-2; 2) \cap [3; +\infty) = \emptyset $ (пустое множество).
Объединение результатов дает $ (-2; 2) $.
Ответ: $ x \in (-2; 2) $.

г) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |x| > 4, \\ (x+5)(x-4) \le 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $ |x| > 4 $.
Это неравенство равносильно совокупности $ x > 4 $ или $ x < -4 $.
Решение первого неравенства: $ x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство: $ (x+5)(x-4) \le 0 $.
Это квадратичное неравенство. Графиком функции $ y = (x+5)(x-4) $ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $ x=-5 $ и $ x=4 $.
Неравенство $ y \le 0 $ выполняется, когда $ x $ находится на отрезке между корнями (включая сами корни).
Решение второго неравенства: $ x \in [-5; 4] $.

3. Найдем пересечение решений: $ ((-\infty; -4) \cup (4; +\infty)) \cap [-5; 4] $.
Разобьем на два пересечения:
- $ (-\infty; -4) \cap [-5; 4] = [-5; -4) $.
- $ (4; +\infty) \cap [-5; 4] = \emptyset $. Точка $ x=4 $ не входит в первый интервал.
Объединение результатов дает $ [-5; -4) $.
Ответ: $ x \in [-5; -4) $.