Номер 183, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

183. a) $x^2 - 10x + 37 - 7|x - 5| > 0;$
б) $x^2 + 14x + 54 - 6|x + 7| < 0;$
в) $3x^2 + 12x + 14 - 5|x + 2| \le 0;$
г) $2x^2 - 12x + 23 - 7|x - 3| \ge 0.$

а)

Решим неравенство $x^2 - 10x + 37 - 7|x-5| > 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 10x$ связано с $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$. Выделим полный квадрат в левой части неравенства:
$x^2 - 10x + 37 = (x^2 - 10x + 25) + 12 = (x-5)^2 + 12$.

Подставим это в исходное неравенство:
$(x-5)^2 + 12 - 7|x-5| > 0$.

Так как $(x-5)^2 = |x-5|^2$, мы можем переписать неравенство в виде:
$|x-5|^2 - 7|x-5| + 12 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x-5|$. Так как модуль — неотрицательная величина, $t \ge 0$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - 7t + 12 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 7t + 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 7t + 12 > 0$ выполняется при $t < 3$ или $t > 4$.

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем два случая:
1) $0 \le t < 3$
2) $t > 4$

Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $0 \le |x-5| < 3 \implies |x-5| < 3$. Это двойное неравенство: $-3 < x-5 < 3$, откуда, прибавив 5 ко всем частям, получаем $2 < x < 8$.
2) $|x-5| > 4$. Это равносильно совокупности двух неравенств:
$x-5 > 4 \implies x > 9$
$x-5 < -4 \implies x < 1$

Объединяя все найденные решения, получаем: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 8) \cup (9; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 8) \cup (9; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $x^2 + 14x + 54 - 6|x+7| < 0$.

Выделим полный квадрат: $x^2 + 14x + 54 = (x^2 + 14x + 49) + 5 = (x+7)^2 + 5$.

Подставим в неравенство:
$(x+7)^2 + 5 - 6|x+7| < 0$.

Используя свойство $|a|^2 = a^2$, получаем:
$|x+7|^2 - 6|x+7| + 5 < 0$.

Пусть $t = |x+7|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 6t + 5 < 0$.

Корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $1 < t < 5$. Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Возвращаемся к переменной $x$:
$1 < |x+7| < 5$.

Это двойное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} |x+7| > 1 \\ |x+7| < 5 \end{cases}$

1) $|x+7| > 1$ равносильно совокупности $x+7 > 1$ или $x+7 < -1$, то есть $x > -6$ или $x < -8$. Решение: $x \in (-\infty; -8) \cup (-6; +\infty)$.
2) $|x+7| < 5$ равносильно $-5 < x+7 < 5$, то есть $-12 < x < -2$. Решение: $x \in (-12; -2)$.

Найдем пересечение этих двух множеств решений: $x \in ((-12; -2)) \cap ((-\infty; -8) \cup (-6; +\infty))$.
Пересечением является объединение интервалов $(-12; -8) \cup (-6; -2)$.
Ответ: $x \in (-12; -8) \cup (-6; -2)$.

в)

Решим неравенство $3x^2 + 12x + 14 - 5|x+2| \le 0$.

Выделим полный квадрат: $3x^2 + 12x + 14 = 3(x^2 + 4x) + 14 = 3(x^2 + 4x + 4 - 4) + 14 = 3(x+2)^2 - 12 + 14 = 3(x+2)^2 + 2$.

Подставим в неравенство:
$3(x+2)^2 + 2 - 5|x+2| \le 0$.

Заменяя $(x+2)^2$ на $|x+2|^2$, получаем:
$3|x+2|^2 - 5|x+2| + 2 \le 0$.

Пусть $t = |x+2|$, где $t \ge 0$.
$3t^2 - 5t + 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{6}$, откуда $t_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{6}{6} = 1$.

Решение неравенства: $\frac{2}{3} \le t \le 1$. Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Возвращаемся к переменной $x$:
$\frac{2}{3} \le |x+2| \le 1$.

Это равносильно системе:
$\begin{cases} |x+2| \ge \frac{2}{3} \\ |x+2| \le 1 \end{cases}$

1) $|x+2| \ge \frac{2}{3}$ равносильно совокупности $x+2 \ge \frac{2}{3}$ или $x+2 \le -\frac{2}{3}$.
$x \ge \frac{2}{3} - 2 \implies x \ge -\frac{4}{3}$
$x \le -\frac{2}{3} - 2 \implies x \le -\frac{8}{3}$
Решение: $x \in (-\infty; -\frac{8}{3}] \cup [-\frac{4}{3}; +\infty)$.
2) $|x+2| \le 1$ равносильно $-1 \le x+2 \le 1$, откуда $-3 \le x \le -1$. Решение: $x \in [-3; -1]$.

Пересечение множеств $(-\infty; -8/3] \cup [-4/3; +\infty)$ и $[-3; -1]$ дает нам:
$[-3; -8/3] \cup [-4/3; -1]$.
Ответ: $x \in [-3; -8/3] \cup [-4/3; -1]$.

г)

Решим неравенство $2x^2 - 12x + 23 - 7|x-3| \ge 0$.

Выделим полный квадрат: $2x^2 - 12x + 23 = 2(x^2 - 6x) + 23 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 23 = 2(x-3)^2 - 18 + 23 = 2(x-3)^2 + 5$.

Подставим в неравенство:
$2(x-3)^2 + 5 - 7|x-3| \ge 0$.

Перепишем с использованием $|x-3|^2$:
$2|x-3|^2 - 7|x-3| + 5 \ge 0$.

Пусть $t = |x-3|$, где $t \ge 0$.
$2t^2 - 7t + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $2t^2 - 7t + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.
$t_{1,2} = \frac{7 \pm 3}{4}$, откуда $t_1 = \frac{4}{4} = 1$ и $t_2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Решением неравенства $2t^2 - 7t + 5 \ge 0$ является $t \le 1$ или $t \ge \frac{5}{2}$.

Учитывая $t \ge 0$, получаем: $0 \le t \le 1$ или $t \ge \frac{5}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:
1) $0 \le |x-3| \le 1 \implies |x-3| \le 1$. Это равносильно $-1 \le x-3 \le 1$, откуда $2 \le x \le 4$.
2) $|x-3| \ge \frac{5}{2}$. Это равносильно совокупности:
$x-3 \ge \frac{5}{2} \implies x \ge 3 + \frac{5}{2} \implies x \ge \frac{11}{2}$
$x-3 \le -\frac{5}{2} \implies x \le 3 - \frac{5}{2} \implies x \le \frac{1}{2}$

Объединяя все найденные решения, получаем: $x \in (-\infty; 1/2] \cup [2; 4] \cup [11/2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; 4] \cup [\frac{11}{2}; +\infty)$.