Номер 189, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (189—191).

189. Докажите, что:

а) сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба гипотенузы;

б) $a^n < b^n$, если $n$ — натуральное число и $0 < a < b$.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника, а $c$ — длина его гипотенузы. Так как это длины сторон, то $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$. Нам необходимо доказать, что $a^3 + b^3 < c^3$.

Из теоремы Пифагора мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$. Также в прямоугольном треугольнике каждый катет короче гипотенузы, поэтому $a < c$ и $b < c$.

Так как $a < c$ и $a^2 > 0$, то, умножив обе части неравенства на $a^2$, получим верное неравенство: $a^3 < c \cdot a^2$. Аналогично, так как $b < c$ и $b^2 > 0$, то $b^3 < c \cdot b^2$.

Сложим эти два неравенства почленно: $a^3 + b^3 < c \cdot a^2 + c \cdot b^2$. Вынесем в правой части общий множитель $c$: $a^3 + b^3 < c(a^2 + b^2)$.

Теперь подставим в полученное неравенство значение $a^2 + b^2$ из теоремы Пифагора: $a^3 + b^3 < c \cdot c^2$, что равносильно $a^3 + b^3 < c^3$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба гипотенузы.

По условию задачи, $n$ — натуральное число, и даны числа $a$ и $b$ такие, что $0 < a < b$. Требуется доказать, что $a^n < b^n$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим разность $b^n - a^n$ и покажем, что она положительна. Воспользуемся известной формулой разности степеней: $b^n - a^n = (b-a)(b^{n-1} + b^{n-2}a + b^{n-3}a^2 + \dots + a^{n-1})$.

Проанализируем знаки каждого из двух множителей в правой части равенства.
1. Первый множитель $(b-a)$. Поскольку по условию $a < b$, то разность $b-a$ строго положительна: $b-a > 0$.
2. Второй множитель $(b^{n-1} + b^{n-2}a + \dots + a^{n-1})$. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, то все слагаемые в этой сумме являются положительными числами. Сумма положительных чисел также является положительным числом.

Таким образом, выражение $b^n - a^n$ представляет собой произведение двух положительных множителей. Произведение двух положительных чисел всегда положительно, следовательно, $b^n - a^n > 0$. Из этого неравенства напрямую следует, что $b^n > a^n$, или, что то же самое, $a^n < b^n$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если $n$ — натуральное число и $0 < a < b$, то выполняется неравенство $a^n < b^n$.