Номер 195, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

195. Какова мгновенная скорость $v$ в момент времени $t$ для тел, законы прямолинейного движения которых таковы:

а) $s(t) = 5t + 3$;

б) $s(t) = 3t^2 + 4$?

Мгновенная скорость $v$ в момент времени $t$ является первой производной от закона движения (координаты) $s(t)$ по времени. Физический смысл производной в данном контексте — это скорость изменения положения тела.

Формула для нахождения мгновенной скорости: $v(t) = s'(t)$.

а) Дан закон прямолинейного движения: $s(t) = 5t + 3$.

Для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ необходимо найти производную функции $s(t)$ по переменной $t$.

$v(t) = s'(t) = (5t + 3)'$

Используем правила дифференцирования:

• Производная суммы функций равна сумме их производных: $(f(t) + g(t))' = f'(t) + g'(t)$.
• Производная линейной функции $(kt)'$ равна $k$.
• Производная константы $(C)'$ равна нулю.

Применяя эти правила, получаем:

$v(t) = (5t)' + (3)' = 5 + 0 = 5$

Таким образом, мгновенная скорость тела постоянна и равна 5 (единиц скорости).

Ответ: $v(t) = 5$.

б) Дан закон прямолинейного движения: $s(t) = 3t^2 + 4$.

Для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ также найдем производную функции $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (3t^2 + 4)'$

Используем те же правила дифференцирования, а также правило для степенной функции $(at^n)' = a \cdot n \cdot t^{n-1}$.

Применяя правила, получаем:

$v(t) = (3t^2)' + (4)' = 3 \cdot 2 \cdot t^{2-1} + 0 = 6t$

В этом случае мгновенная скорость тела зависит от времени $t$ и равна $6t$ (единиц скорости).

Ответ: $v(t) = 6t$.