Номер 202, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

202. Для решения каких физических задач применяется первообразная?

Первообразная, или неопределенный интеграл, является фундаментальным инструментом в физике. Его применение основано на том, что многие физические законы связывают одни величины как производные (скорость изменения) других. Если известна зависимость скорости изменения некоторой величины, то для нахождения самой величины или её полного изменения за определенный промежуток необходимо выполнить обратную операцию — интегрирование (нахождение первообразной). Рассмотрим основные типы таких задач.

1. Механика: определение пути и скорости

В кинематике первообразная используется для нахождения координаты тела по известной зависимости его скорости от времени, а также скорости по известной зависимости ускорения от времени.

Скорость $v(t)$ — это производная координаты $x(t)$ по времени $t$: $v(t) = x'(t)$. Следовательно, зная закон изменения скорости $v(t)$ и начальное положение тела $x_0 = x(t_0)$, можно найти его координату в любой момент времени $t$ через первообразную:

$x(t) = \int v(t) dt = F(t) + C$, где $F(t)$ — одна из первообразных для $v(t)$, а константа интегрирования $C$ находится из начальных условий: $x_0 = F(t_0) + C$.

Перемещение тела $\Delta x$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ равно определенному интегралу от скорости:

$\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$.

Аналогично, ускорение $a(t)$ — это производная скорости $v(t)$: $a(t) = v'(t)$. Значит, изменение скорости $\Delta v$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ можно найти, интегрируя ускорение:

$\Delta v = v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} a(t) dt$.

Ответ: В механике первообразная применяется для вычисления пути, пройденного телом при неравномерном движении, и для нахождения скорости тела при движении с переменным ускорением.

2. Вычисление работы переменной силы

Если на тело действует сила, величина которой меняется в зависимости от положения тела, то работа этой силы не может быть вычислена простым умножением силы на перемещение. Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела вдоль оси $x$ из точки $x_1$ в точку $x_2$, вычисляется как определенный интеграл:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.

Геометрически эта работа равна площади криволинейной трапеции под графиком зависимости $F(x)$. Примеры таких сил — сила упругости пружины ($F = kx$) или сила гравитационного притяжения ($F(r) = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$).

Ответ: Первообразная (в виде определенного интеграла) используется для расчета работы, совершаемой силой, которая изменяется в процессе движения тела.

3. Электродинамика: заряд и потенциал

В электродинамике интегрирование также находит широкое применение.

Сила тока $I(t)$ определяется как скорость прохождения заряда через поперечное сечение проводника: $I(t) = q'(t)$. Чтобы найти полный заряд $q$, прошедший через сечение за интервал времени от $t_1$ до $t_2$, нужно проинтегрировать силу тока:

$q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$.

Напряженность электрического поля $E$ и потенциал $\varphi$ связаны соотношением $E = -\frac{d\varphi}{dx}$ (в одномерном случае). Следовательно, разность потенциалов между двумя точками $x_1$ и $x_2$ можно найти, проинтегрировав напряженность поля:

$\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = - \int_{x_1}^{x_2} E(x) dx$.

Ответ: В электродинамике с помощью первообразной можно вычислить заряд, прошедший по цепи при переменном токе, или разность потенциалов в неоднородном электрическом поле.

4. Термодинамика и другие задачи

Помимо перечисленных, первообразная используется для решения множества других физических задач. Например, для вычисления работы, совершаемой газом при изменении его объема в термодинамике ($A = \int_{V_1}^{V_2} p(V) dV$); для нахождения массы неоднородного тела, например, стержня с переменной линейной плотностью $\lambda(x)$ ($m = \int_a^b \lambda(x) dx$); а также для определения координат центра масс и моментов инерции тел сложной формы или с неравномерным распределением массы. Таким образом, нахождение первообразной — это универсальный математический метод для решения физических задач, в которых требуется найти суммарный эффект от действия переменной величины.

Ответ: Первообразная применяется для нахождения работы газа, массы неоднородных тел, центра масс и во многих других задачах, где нужно просуммировать действие непрерывно изменяющейся величины.