Номер 205, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

205. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$, задается формулой

$v(t) = v_0 - gt$

а высота $H$ — формулой

$H(t) = H_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

где $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ — ускорение земного притяжения, $H_0$ — начальная высота. Докажите, что:

а) функция $v(t)$ есть производная функции $H(t)$;

б) функция $H(t)$ есть первообразная функции $v(t)$.

а) Чтобы доказать, что функция $v(t)$ является производной функции $H(t)$, необходимо найти производную функции $H(t)$ по переменной $t$ и сравнить ее с функцией $v(t)$.
Функция высоты задана формулой:
$H(t) = H_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2}$
Находим производную $H'(t)$. В этом выражении $H_0$ (начальная высота), $v_0$ (начальная скорость) и $g$ (ускорение свободного падения) являются константами, а $t$ — переменной.
Используем правила дифференцирования: производная константы равна нулю, производная $(kt)$ равна $k$, и производная $(kt^2)$ равна $2kt$.
$H'(t) = \frac{d}{dt}(H_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2}) = (H_0)' + (v_0t)' - (\frac{g}{2}t^2)'$
$H'(t) = 0 + v_0 \cdot 1 - \frac{g}{2} \cdot 2t = v_0 - gt$
Полученное выражение для $H'(t)$ полностью совпадает с данной в условии формулой для скорости $v(t) = v_0 - gt$.
Таким образом, доказано, что функция $v(t)$ есть производная функции $H(t)$.
Ответ: Поскольку $H'(t) = (H_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2})' = v_0 - gt$ и $v(t) = v_0 - gt$, то $v(t) = H'(t)$, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что функция $H(t)$ является первообразной для функции $v(t)$, нужно показать, что производная от $H(t)$ равна $v(t)$.
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
В нашем случае нужно проверить, выполняется ли равенство $H'(t) = v(t)$.
Как было установлено в пункте а), производная функции $H(t)$ равна:
$H'(t) = v_0 - gt$
Это выражение идентично функции $v(t)$, заданной в условии.
Следовательно, так как $H'(t) = v(t)$, функция $H(t)$ является первообразной для функции $v(t)$.
Ответ: Утверждение доказано, так как из пункта а) следует, что $H'(t) = v(t)$, а это является определением первообразной.