Номер 209, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

209. Дана функция $y = x^3 (x \ge 0)$.

a) Назовите зависимую и независимую переменные.

б) Какова область значений данной функции?

в) Вычислите для данной функции значения $y(0), y(1), y(2), y(3), y(0.5), y\left(\frac{1}{3}\right), y\left(2\frac{1}{2}\right)$. Решение оформите в виде таблицы.

а) В функциональной зависимости вида $y = f(x)$, переменная, значение которой выбирается произвольно из области определения, называется независимой переменной или аргументом. В данном случае это переменная $x$. Переменная, значение которой вычисляется на основе значения аргумента, называется зависимой переменной или функцией. В данном случае это переменная $y$.

Ответ: независимая переменная – $x$, зависимая переменная – $y$.

б) Область значений функции – это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$ при всех возможных значениях независимой переменной $x$ из области определения. Дана функция $y = x^3$ с областью определения $x \ge 0$. Это означает, что $x$ может принимать любые неотрицательные значения.
Функция $y = x^3$ является возрастающей. Это значит, что чем больше значение $x$, тем больше значение $y$. Наименьшее значение $x$ в заданной области определения равно 0. При $x = 0$ значение функции $y = 0^3 = 0$. Поскольку $x$ может быть сколь угодно большим положительным числом ($x \rightarrow +\infty$), значение $y = x^3$ также будет сколь угодно большим положительным числом ($y \rightarrow +\infty$). Таким образом, область значений функции состоит из всех неотрицательных чисел.

Ответ: область значений функции $y \ge 0$, или в виде промежутка $[0; +\infty)$.

в) Для вычисления значений функции необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу $y = x^3$.

При $x = 0$: $y(0) = 0^3 = 0$
При $x = 1$: $y(1) = 1^3 = 1$
При $x = 2$: $y(2) = 2^3 = 8$
При $x = 3$: $y(3) = 3^3 = 27$
При $x = 0,5$: $y(0,5) = (0,5)^3 = 0,125$
При $x = \frac{1}{3}$: $y\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$
При $x = 2\frac{1}{2}$: сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. Тогда $y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8} = 15,625$.

Оформим решение в виде таблицы:

Ответ: вычисленные значения функции представлены в таблице выше.