Номер 203, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

203. Чему равна первообразная для функции:

а) $y = 2$;

б) $y = 3x - 2$;

в) $y = x + 1;$

г) $y = -x - 4$;

д) $y = 2 - 2x?$

а)

Чтобы найти первообразную для функции $y=2$, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна 2. Это соответствует нахождению неопределенного интеграла.

Используем основное правило интегрирования для константы $\int k \, dx = kx + C$:

$F(x) = \int 2 \, dx = 2x + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования), так как производная любой константы равна нулю.

Проверим результат, взяв производную от найденной первообразной:

$F'(x) = (2x + C)' = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

Производная $F'(x)$ совпадает с исходной функцией $y=2$, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = 2x + C$

б)

Для нахождения первообразной функции $y = 3x - 2$ воспользуемся правилами интегрирования суммы (разности) и степенной функции ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$).

$F(x) = \int (3x - 2) \, dx = \int 3x \, dx - \int 2 \, dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int 3x \, dx = 3 \int x^1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{3}{2}x^2$

$\int 2 \, dx = 2x$

Объединим результаты и добавим константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

Проверка: $F'(x) = (\frac{3}{2}x^2 - 2x + C)' = \frac{3}{2} \cdot 2x - 2 + 0 = 3x - 2$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

в)

Находим первообразную для функции $y = x + 1$, используя те же правила.

$F(x) = \int (x + 1) \, dx = \int x \, dx + \int 1 \, dx$

Применяем правило для степенной функции к первому слагаемому и правило для константы ко второму:

$\int x^1 \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

$\int 1 \, dx = x$

Суммируем и добавляем константу $C$:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$

Проверка: $F'(x) = (\frac{x^2}{2} + x + C)' = \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 + 0 = x + 1$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$

г)

Находим первообразную для функции $y = -x - 4$.

$F(x) = \int (-x - 4) \, dx = \int (-x) \, dx - \int 4 \, dx$

Вычисляем интегралы:

$\int (-x) \, dx = - \int x^1 \, dx = -\frac{x^{1+1}}{1+1} = -\frac{x^2}{2}$

$\int 4 \, dx = 4x$

Собираем все вместе:

$F(x) = -\frac{x^2}{2} - 4x + C$

Проверка: $F'(x) = (-\frac{x^2}{2} - 4x + C)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x - 4 + 0 = -x - 4$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^2}{2} - 4x + C$

д)

Находим первообразную для функции $y = 2 - 2x$.

$F(x) = \int (2 - 2x) \, dx = \int 2 \, dx - \int 2x \, dx$

Вычисляем интегралы:

$\int 2 \, dx = 2x$

$\int 2x \, dx = 2 \int x^1 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \frac{x^2}{2} = x^2$

Объединяем результаты:

$F(x) = 2x - x^2 + C$

Проверка: $F'(x) = (2x - x^2 + C)' = 2 - 2x + 0 = 2 - 2x$.

Результат проверки совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = 2x - x^2 + C$