Номер 208, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

208. a) Возрастает ли на промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = x^n$?

б) Дана функция $y = x^n$. К чему стремится $y$ при $x \to +\infty$?

а) Чтобы определить, является ли функция возрастающей на промежутке, необходимо исследовать знак ее производной на этом промежутке. Если производная неотрицательна на всем промежутке и не обращается в ноль на каком-либо его под-интервале, то функция возрастает.

Рассмотрим функцию $y = x^n$. Будем считать, что $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Найдем производную этой функции:

$y' = (x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Теперь проанализируем знак производной на промежутке $[0; +\infty)$.

1. Если $n = 1$, то функция имеет вид $y = x$. Ее производная $y' = 1$. Так как производная всегда положительна ($1 > 0$), функция возрастает на всей числовой прямой, включая промежуток $[0; +\infty)$.

2. Если $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), то для любого $x$ из интервала $(0; +\infty)$ мы имеем $x > 0$. Поскольку $n-1 \ge 1$, то и $x^{n-1} > 0$. Так как $n$ — натуральное число больше 1, оно также положительно. Следовательно, производная $y' = n \cdot x^{n-1}$ является произведением двух положительных чисел и, значит, сама положительна: $y' > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.

В точке $x=0$ производная равна $y'(0) = n \cdot 0^{n-1} = 0$.

Таким образом, на промежутке $[0; +\infty)$ производная функции $y'$ неотрицательна ($y' \ge 0$) и обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция $y=x^n$ строго возрастает на всем промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: да, функция возрастает.

б) Нам нужно определить предел функции $y = x^n$ при $x$, стремящемся к плюс бесконечности ($x \to +\infty$).

Запишем это в виде предела:

$\lim_{x \to +\infty} x^n$

Снова будем считать, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).

Когда переменная $x$ принимает сколь угодно большие положительные значения, ее возведение в любую натуральную степень $n$ также дает сколь угодно большие положительные значения. Можно представить $x^n$ как произведение $n$ множителей, каждый из которых стремится к $+\infty$:

$x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \dots \cdot x}_{n \text{ раз}}$

Если $x \to +\infty$, то и все произведение будет стремиться к $+\infty$.

Следовательно, предел функции $y = x^n$ при $x \to +\infty$ равен плюс бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ (при $n \in \mathbb{N}$)

Ответ: $y$ стремится к $+\infty$.